3.3. Формулы алгебры логики
С помощью логических операций над высказываниями из заданной совокупности высказываний можно строить различные сложные высказывания. При этом порядок выполнения операций указывается скобками.
Всякое сложное высказывание, которое, может быть получено из элементарных посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности, называется формулой алгебры логики.
Формулы алгебры логики будем обозначать большими буквами латинского алфавита.
Для упрощения записи формул принят ряд соглашений. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: конъюнкция выполняется ране, чем все остальные операции, дизъюнкция выполняется ранее, чем импликация и эквивалентность. Если над формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются.
Например, формулы
(x&y)z
и x→
могут быть записаны
x&yz
и x→
.
Логические
значений формул, полностью определяется
логическими значениями входящих в нее
элементарных высказываний. Например,
если x
= 1, y
= 1, z
= 0, то
=
1.
Все возможные значения логические значения формулы могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.
Н
апример,
для формулы x
v
y→x&y
таблица истинности имеет вид:
x |
y |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
3.4. Булевы функции
Функции f: En2 →E2 , где Е2={0;1} называются функциями алгебры логики или булевыми функциями.
Множество булевых функций от n переменных обозначим Рn, Рn:={f | f: En2 →E2}
Булеву функцию от n переменных можно задать таблицей истинности:
x1 |
… |
xn-1 |
xn |
f(x1,x2,…,xn) |
0 |
… |
0 |
0 |
|
0 |
… |
0 |
1 |
|
… |
… |
1 |
0 |
|
1 |
… |
1 |
1 |
|
Таблица содержит 2n строк, соответствующих всем различным комбинациям значений переменных.
Если функция fRn существенно зависит от xi, если существует такой набор значений а1, …, аi-1, аi+1, …, аn, что f(а1, …, аi-1, 0, аi+1, …, аn) f(а1, …, аi-1, 1, аi+1, …, аn), xi в этом случае называется существенной переменной, в противном случае xi – фиктивная переменная.
Например, значения функций f1 и f2 заданы таблицей.
x1 |
x2 |
f1 |
f2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Для обеих функций x1 – существенная переменная, а x2 – фиктивная.
Составим таблицу основных булевых функций одной переменной:
|
|
x |
|
|
название |
обозначение |
0 |
1 |
фиктивная |
нуль |
0 |
0 |
0 |
x |
тождественная |
x |
0 |
1 |
|
отрицание |
¬x, , x’ |
1 |
0 |
|
единица |
1 |
1 |
1 |
x |