2.3 Свойства бинарных отношений

Пусть RM*M, a,bM. Тогда выделяют следующие отношения:

Обратное отношение R^-1:={(a,b)(b,a)  R}

Дополнения отношения :={(a,b)(b,a)R}

Тождественное отношение I:={(a,a)a  M}

Универсальное отношение U={(a,b)aM и b M}

Композицией двух отношений R₁ и R₂ называют отношение RAB (из A в B):

R=R₁R₂={(a;b)aA и b B и существует c  C: aR₁c и cR₂b}

Пусть R-отношение на множестве А. Степенью отношения R на А называется композиция с самим собой. Rⁿ=R_R.

Т.к. отношения на M задаются подмножествами, RM_1*M₂ (если M₁=M₂? Тогда RM²), то для них определены те же операции, что и над множествами.

Объединение R₁ U R₂:

R₁ U R₂={(a,b)(a,b)R₁ или (a,b) R₂}

Пересечение R₁  R₂:

R₁  R₂={(a,b)(a,b)R₁ и (a,b) R₂}

Разность R₁\R₂:

R₁\R₂={(a,b)(a,b)R₁ и (a,b)  R₂}

Выделяют следующие свойства отношений:

Пусть RMM (RM²)

Рефлексивность. Для любых aM: aRa (в этом случае главная диагональ матрицы соответствия содержит только 1);
Антирефлексивность. Для любых aM: aRa (главная диагональ матрицы соответствия содержит только 0)
Симметричность Для любых a,b M, если aRb, тогда bRa (матрица симметрична относительно главной диагонали)
Антисимметричность для любых a,bM, если aRb и bRa, тогда a=b (отсутствуют 1 симметричные относительно главной диагонали).
Транзитивность Для любых a,b,c  M, если aRb и bRc, то aRc (матрица симметрична относительно побочной диагонали).

2.4 Эквивалентность и порядок

Отношением эквивалентности (эквивалентностью) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Например, отношение «жить в одном городе» на множестве людей - эквивалентность.

Эквивалентность R разбивает множество M, на котором оно задано на непересекающиеся подмножества так, что элементы одного и того же подмножества находятся в отношении R, а между элементами из разных подмножеств отсутствуют. В таком случае говорят, что отношение R задает разбиение на множестве M, или систему классов эквивалентности по отношению R. Мощность этой системы называется индексом разбиения.

Отношения порядка позволяют сравнивать между собой различные элементы одного множества.

Отношение называется отношением нестрогого порядка, если она рефлексивно, антисимметрично и транзитивно (например, ≤ и ).

Отношение называется отношением строго порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно (например, < и >).

Элементы a и b называются сравнимыми по отношению порядка R, если выполняется aRb или bRa.

Множество M, на котором задано отношение порядка называется вполне упорядоченными, если любые два элемента R сравнимы, и частично упорядоченные в противном случае.

2.5 Функция

Понятие «функции» является одним из основополагающих в математике. В данном случае подразумевается, прежде всего, отображение одного конечного множества объектов в другое конечное множество.

Пусть f – отношение из A и B, такое что

a (a,b)f & (a,c)f  b=c.

Такое свойство отношений называется однозначностью или функциональностью, а само отношение функцией из A в B и обозначается следующим образом:

f: AB или b=f(a) ((a;b) f),

a называют аргументом, b – значением функции.

Пусть f: AB, тогда область определения функции D(f)={aAbB, b=f(a)}, а область значения функции E(f)={BA, b=f(a)}.

Функция f называется:

Инъективной, если b=f(a₁)&b=f(a₂)  a₁= a₂;

Сюръективной, если  bBaA, b=f(a);

Биективной , если она инъективна и сюрьективна (взаимоодназначная).

Рисунок 7 иллюстрирует понятия отношения, функции, инъекции, сюрьекции и биекции.