1.3 Операции над множествами

Диаграммы Венна – геометрическое представление множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, изображающего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Если множества обозначаются только кругами, то такая диаграмма называется диаграммой Эйлера-Венна, а круги – кругами Эйлера(рис.1).

Рассмотрим операции на булеане β(А), то есть Аβ(А) и Вβ(А), и проиллюстрируем их с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

Объединением множеств А и В называется множество AB, все элементы которого являются элементами либо множества А, либо множества В.

AB:={xxA или xB}.

Рисунок 1. Объединение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество AB элементы которого являются и элементами множества А, и элементами множества В.

AB:={xA и xB}.

РИСУНОК 2

Рисунок 2. Пересечение множеств.

Разностью множеств А и В называется множество тех и только тех элементов множества А, которые не содержатся в В.

.

РИСУНОК 3

Рисунок 3. Разность множеств.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество

.

Дополнением множеств А и В называется множество

A={x|xA}.

РИСУНОК 4

Рисунок 4. Дополнение множества.

Свойства операций над множествами:

1. идемпотентность ,

2. коммутативность ,

3. ассоциативность ,

4. дистрибутивность ,

5. поглощение ,

6. свойства нуля ,

7. свойства единицы ,

8. инволютивность

9. законы де Моргана ,

10. свойства дополнения ,

11. выражение для разности

В справедливости этих свойств можно убедиться различными способами (например, диаграммы Эйлера-Венна).

ЗАДАЧИ

Доказать по определению и с помощью диаграмм Эйлера –Венна следующие тождества:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Доказать по определению для произвольных множеств A,B,C,D

5.

6.

7. Если , то A=B

8.

§2 Отношения (соответствия)

2.1 Основные понятия

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множеств.

Пусть аА, bB, то через (a,b) обозначим упорядоченную пару. Равенство упорядоченных пар определим следующим образом: (a,b)=(c,d) если a=c и b=d,

(a,b)(b,a).

Пусть А и В – два множества. Прямым (или декартовым) произведение 2-х множеств А и В называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит А, а второй В.

АВ:={(a,b) a A и b  B}

Степенью n множества A называется прямое произведение этого множества на себя n раз: Aⁿ:=

Унарные (одноместные) отношения – это наличие какого-то определенного признака R (свойства) у элемента множества М (например, «быть белым» на множестве шаров в урне). Тогда все элементы а из множества М, которые отличаются данным признаком R, образую некоторое подмножество в М, называемое унарным отношением R, т.е. a  R, RM.

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения каких-то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в множестве М (так, на множестве людей могут быть заданы, например, следующие бинарные отношения: «жить в одном городе», «быть моложе», «быть сыном», «работать в 1 организации» и.т.п.).

Если A и B множества, то (бинарным) отношением R из множества A в множество B называется подмножество RAB. Для бинарных отношений, используется инфиксная форма записи:

a R b:= (a;b)  RAB,

если A=B, то говорят, что R есть отношение на множестве A.