
- •§1. Множества
- •1.1 Основные понятия
- •Следует отметить что , но .
- •1.2. Способы задания
- •1.3 Операции над множествами
- •Свойства операций над множествами:
- •§2 Отношения (соответствия)
- •2.1 Основные понятия
- •2.2 Способы задания бинарных отношений
- •2.3 Свойства бинарных отношений
- •2.4 Эквивалентность и порядок
- •2.5 Функция
- •§3. Алгебра логики
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Логические операции над высказываниями
- •3.3. Формулы алгебры логики
- •3.4. Булевы функции
- •3.5. Булевы функции двух переменных
- •Равносильные формулы:
- •§4. Теория графов
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Способы задания графов
- •4.3. Операции над частями графа
§1. Множества
1.1 Основные понятия
Множество – основное понятие теории множеств, которое вводится без определения.
О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов.
Через
обозначается отношение принадлежности,
т.е. x
означает,
что элемент x
принадлежит множеству А. Если Х не
является элементом множества А, то это
записывается
.
Множество
А называется подмножеством
множества В (обозначается
),
если всякий элемент из А является
элементом В.
Два
множества А и В называются равными
(А = В), если
они состоят из одних и тех же элементов.
В противном случае
.
Если
и
,
то А называется строгим
(собственным)
подмножеством (обозначается
).
Не следует смешивать отношение принадлежности и отношение включения . Хотя 0{0} и{0}{{0}}, неверно, что 0{{0}}, поскольку единственным элементом множества{{0}} является{0}.
Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается через β(А) или 2А. Таким образом β(А):={B|BA.
Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Ø.
Множество,
состоящее из конечного числа элементов,
называется конечным,
в противном случае – бесконечным.
Число элементов в конечном множестве
М называется его мощностью
и обозначается
.
Пустое множество Ø – множество мощности
0 (
).
Следует отметить что , но .
Если A=B, то множества A и B – равномощные множества.
Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество, элементами которого являются множества, называют классом или семейством. Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая) универсальное (универсум).
1.2. Способы задания
Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать:
1.Перечислением. Задается списком всех элементов множества.
Такой
способ задания допустим лишь для конечных
множеств. Например, A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} или В={b1,b2,b3}.Допустима
и такая запись: X=
или X={xn},
i
I,
I={1,2,…,n}.
Пример 1. {4,2,6}.
2.Порождающей
процедурой,
которая описывает способ получения
элементов множеств из уже полученных
элементов либо других объектов. Например,
множество всех целых чисел, являющихся
степенями двойки М2n,
,
где N
– множество натуральных чисел (допустимое
обозначение М2n
= 1, 2, 4, 8, 16, …), может быть представлено
порождающей процедурой, заданной двумя
правилами:
а)
;
б)
если
,
то
.
3.Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы: x обладает свойством Р(x) (М = {x │ Р(x)}).
Пример
2.
.
Описание свойств элементов должно быть точным и недвусмысленным (корректным).
Пример3. Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3…
Решение. 1.Так как множество N бесконечно, списком задать его нельзя.
2.Порождающая
процедура содержит два правила:
а)
;
б)
если
,
то
..
3.Описание характеристических свойств: N = {x│x – положительное целое число}.
Пример 4. Какие из приведённых определений множеств A, B, C, D являются корректными:
а) A = {1, 2, 3}
б) B = {5, 6, 6, 7}
в)
C
= {x│
}
г) D = {A, C} Принадлежит ли число 1 множеству D?
Решение. а)Определение множества А = {1, 2, 3} списком своих элементов формально корректно.
б) При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз. Корректное определение множества В = {5, 6, 7}.
в) Определение множества C = {x│ } заданием характеристического свойства его элементов корректно.
г) Определение списком множества D = {A, C} корректно: элементами множества D являются множества А и С. Однако 1 не принадлежит D (1D), т.к. элемент 1 не перечислен в списке.