Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Дискретная матем.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
11.09.2019
Размер:
760.32 Кб
Скачать

§1. Множества

1.1 Основные понятия

Множество – основное понятие теории множеств, которое вводится без определения.

О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов.

Через обозначается отношение принадлежности, т.е. x означает, что элемент x принадлежит множеству А. Если Х не является элементом множества А, то это записывается .

Множество А называется подмножеством множества В (обозначается ), если всякий элемент из А является элементом В.

Два множества А и В называются равными (А = В), если они состоят из одних и тех же элементов. В противном случае . Если и , то А называется строгим (собственным) подмножеством (обозначается ).

Не следует смешивать отношение принадлежности и отношение включения . Хотя 0{0} и{0}{{0}}, неверно, что 0{{0}}, поскольку единственным элементом множества{{0}} является{0}.

Совокупность всех подмножеств множества А называется его булеаном или множеством-степенью и обозначается через β(А) или 2А. Таким образом β(А):={B|BA.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Ø.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным. Число элементов в конечном множестве М называется его мощностью и обозначается . Пустое множество Ø – множество мощности 0 ( ).

Следует отметить что , но .

Если A=B, то множества A и B – равномощные множества.

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Множество, элементами которого являются множества, называют классом или семейством. Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая) универсальное (универсум).

1.2. Способы задания

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать:

1.Перечислением. Задается списком всех элементов множества.

Такой способ задания допустим лишь для конечных множеств. Например, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} или В={b1,b2,b3}.Допустима и такая запись: X= или X={xn}, i I, I={1,2,…,n}.

Пример 1. {4,2,6}.

2.Порождающей процедурой, которая описывает способ получения элементов множеств из уже полученных элементов либо других объектов. Например, множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки М2n, , где N – множество натуральных чисел (допустимое обозначение М2n = 1, 2, 4, 8, 16, …), может быть представлено порождающей процедурой, заданной двумя правилами:

а) ;

б) если , то .

3.Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы: x обладает свойством Р(x) (М = {x │ Р(x)}).

Пример 2. .

Описание свойств элементов должно быть точным и недвусмысленным (корректным).

Пример3. Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1, 2, 3…

Решение. 1.Так как множество N бесконечно, списком задать его нельзя.

2.Порождающая процедура содержит два правила: а) ; б) если , то ..

3.Описание характеристических свойств: N = {x│x – положительное целое число}.

Пример 4. Какие из приведённых определений множеств A, B, C, D являются корректными:

а) A = {1, 2, 3}

б) B = {5, 6, 6, 7}

в) C = {x│ }

г) D = {A, C} Принадлежит ли число 1 множеству D?

Решение. а)Определение множества А = {1, 2, 3} списком своих элементов формально корректно.

б) При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз. Корректное определение множества В = {5, 6, 7}.

в) Определение множества C = {x│ } заданием характеристического свойства его элементов корректно.

г) Определение списком множества D = {A, C} корректно: элементами множества D являются множества А и С. Однако 1 не принадлежит D (1D), т.к. элемент 1 не перечислен в списке.