31.Точки mах и min функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

Опр.1. Пусть t-внутренняя точка обл.опр-я ф-ии, точка t наз-ся точкой максимума (минимума), если существует такой интервал ,что для => f(x)≥f(x₀) (соответственно, f(x)≤f(x₀) )

Точки максимума и точки минимума наз. точками экстремума.

Т. Ферма. Если t – точка экстремума функции f, и если сущ-т , то

Опр. 2. Точка t наз. критической точкой функции f, если .

Необх. условие экстремума дает т-ма1

Т.1 Если t-точка экстремума функции f, то либо

1) не сущ-т

2) t-критическая точка.

Док-во:

1. Если вып-ся усл 1, то док-ть нечего, такие точки экстремума сущ-т, например для ф-ии , точка минимума точка t=0 в которой производной нет.

2. Пусть сущ-т, тогда по т-ме Ферма и поэтому t-критическая точка ф-ии.

Т.2 Пусть t-подозрительная на экстремум, функция f дифференцируема в некоторой выколотой δ –окрестности точки х₀ и непрерывна в самой точке х₀. Тогда 1. Если f’(x)>0 слева от точки x₀ и f’(x)<0 справа от точки x₀ в пределах указанной O_δ(x₀), то x₀– точка локального максимума функции f,

2. Аналогично, если f’<0 слева и f’>0 справа, то точка x₀ - локального минимума функции f.

Док-во: 1. Возьмем произвольное число из левой половины О_δ(х₀), т.е. из интервала (х₀-δ;х₀). Т.к. f дифференцируема в этой точке , то и непрерывна в ней(т.к. по лемме: Если функция f дифференцируема в точке х₀, то она и непрерывна в этой точке х₀). Кроме того, по условию функция f непрерывна в точке х₀ и дифференцируема на ( ,х₀), причем f’(t)>0, для всех t из ( ,х₀). Тогда по признаку возрастания функции (Пусть функция f удовлетворяет условиям 1 и 2 Т. Ролля. Тогда, если f’(x)>0 для всех х из (a;b), то функция f строго возрастает на [а;b] (убывает)) функция f возрастает на сегменте [ ,х₀]. В частности, f( )<f(x₀) (1). Подчеркнем, что вывод (1) получен для всех из (х₀-δ;х₀). Аналогично, для каждого из (х₀,х₀+δ) на сегменте [x₀, ] выполнены условия признака убывания функции f, следовательно (2)

Объединяя выводы (1) и(2) получаем, что для всех х из О_δ(х₀) выполняется неравенство f(x)≤f(x₀). По опр.1. это означает, что x₀ – точка локального максимума.

Вторую часть теоремы можно доказать аналогичным рассуждением, либо применить выводы первой части к функции φ(х)= -f(x).

Зам. Если знаки одинаковые(т.е. f’(x) одинакового знака на интервалах (x₀-δ ;x₀) и (x₀;x₀+δ) , тогда точек экстремума нет.

Т.3.. Пусть x₀ - стационарная точка функции f, т.е f'(x₀)=0 Предположим, что существует вторая производная в точке х₀, тогда

А) f “(x₀)<0,то x₀ -точка локального mах

Ь) f”(x₀)>0, то x₀ -точка локального min.

Когда говорят о крайнем значении функции на отрезке, то под этим понимают такое ее значение, больше, либо меньше которого нет ни в одной точке отрезка, включая и концы.

Правило нахождения крайних значений функции на [а;b]

1. найти все точки ехt функции

2. вычислить значение функции в этих точках, а также на концах а и b.

3. Из всех найденных значений выбрать самое малое и самое большое - наибольшее и наименьшее значение функции.