14.Изучение тригонометрических функций в средней шк.

Учащиеся переходят к новому классу функций, которые играют важную роль в изучении мат-ки, они применяются в теории чисел на практике.

Цели: 1)Сформировать понятие тригонометри-ческой ф-ции числового аргумента; 2)Сформировать знание о св-вах тригонометрических функций и умение иссле-довать тригоном-е функ-и; 3)научить строить графики тригоном-х функ-й;

4)формировать мировоз-зрение учащихся с пом-ю сведений из истории мат-ки.

2)Содержание: понятие тригоном-х функ-й число-вого аргумента на примере y = sinx, построение гр-ка ф-ции y = sinx, изучение свойств функ-и y = sinx, исследование и построе-ние графиков более слож-ных функций.

3 )Пропедевтика. Впервые встречается на уроках геометрии в 8 классе, когда рассматри-вается прямоугольный треугольник(рассматриваются триг-е функ-и углового аргумента)

(косинус угла зависит от величины угла , а не от размеров треуг-ка).

4)Введение тригоном-й функции числового аргумента:

Рассмотрим возможные введения понятия триг-ой ф-ции числ-го аргумента:

(Прежде всего необх-мо повторить понятие единичной окр-ти)

1)Делается переход от измерения углов в градусной мере к радианной. Радианную меру считают числом (Колмогоров). Опред: Числовая функция, заданная формулой y = sin(x) наз. синусом.

Мордкович: Вводится понятие «числовая окружность»

Опред: синусом числа в единичной окружности наз. ордината точки единичной окружности, изображающей угол в радиан. Т.О. угол можно обозначить числом, равным длине дуги единичной окружности от начала точки о.

2)Далее строится график функции y = sin(x).

Фрагмент урока:

Начертим систему коорд-т, на оси (Ох) отмечаем единичный отрезок равный 3 клетки. Отмечаем число ( 3 клетки). Затем откладываем точку

Наносим на координатную плоскость.

Д авайте вспомним определение синуса числа.

Опред: Синусом числа называется ордината точки .

Построим тригонометри-ческий круг(радиусом 3кл.) и систему координат следующим образом:

Для построения точки графика функции с абсциссой /3 восполь-зуемся опр-ем ф-ции: на круге через отмеченную точку /3 проведем пря-мую, параллельную оси абсцисс. Точка пересече-ния этой прямой с х= /3-искомаяточка. И так далее.

5)Все тригонометрические функции обладают св-вом периодичности.

Опред: Функцию f наз. периодической с периодом 2 - наименьший положи-тельный период для y = sin(x), y=cos(x), - наименьший положитель-ный период для y=tg(x), y=ctg(x).

Если функция f перио-дическая и имеет период Т, то функция Af(kx+b), где A,k,b- постоянные и , также периодическая и ее период равен .

Исследование тригоно-метрической функции на примере:

1.D(f)=R; E(f)=[-1,5;1,5];

2.Период ;

3.Функция общего вида. 4.Нули функции:

6.Точки пересечения с (Ох): ;

с (Оу):

График:

15.Виды тригономет-рических уравнений в школьном курсе мат-ки и методы их решения.

Основное внимание решения тригонометричес-ких уравнений сосредото-чено в 10 классе.

Виды:

1)Простейшие тригоном-е уравнения и сводящиеся к ним:

а) Частный случай sin(x)=0, sin(x)=1

sin(f(x))=sin(g(x))(условие равенства двух тригоно-метрических функций)Если перенести влево и применить формулу разности синусов, то получим .

Пример:

б) метод подстановки (метод замены переменной)

5cos²(x)-6cosx+1=0

cos(x)=y: 5y²-6y+1=0

в) разложение на множители.

2)Однородные уравнения а)1-ой степени: asin(x)+bcos(x)=0,б) 2-ой степени:asin²(x)+bsin(x)cos(x)+ cos²(x)=0.

Метод решения: 1-ой степени: деление на

проверяем не потеряны ли корни.

Пример:

2-ой степени: делим на , т.к. в противном случае , что невозможно.

3)Уравнения, решаемые разложением на множители:

sin(2x)-sin(x)=0

2sin(x)cos(x)-sin(x)=0

sin(x)(2cos(x)-1)=0

4)Уравнения вида:asin(x)+bcos(x)=c

Существует три метода: 1.метод введения вспомогательного угла;

2.метод универсальной подстановки;

3.метод сведения к однородному.1. Введем вспомогательный угол: Уравнение: cos(x)cos(5x)=1

Метод решения: использо-вание свойств входящих функций:

Методы: использование формул преобразования суммы триг-их функций в произведение двойного или половинного угла, графический способ решения.