1.1. Подбор сечений стержней по заданной внешней нагрузке

Р е ш е н и е

1.1.1. Вычерчиваем расчётную схему (рис.1.2) в масштабе и проставляем на чертеже все размеры и обозначения. Показываем предполагаемые направления внутренних усилий и реакции (рис.1.3).

1.1.2. Составляем уравнение статики. Поскольку нас интересуют усилия в стержнях и , достаточно записать одно уравнение – сумму моментов относительно точки .

(1.1)

1.1.3. Рассмотрим теперь деформированное состояние системы, рис.1.4. При построении картины деформированного состояния руководствуемся принципом: стержень растянулся CE (сжался) и повернулся CE₁. Под действием внешней нагрузки горизонтальная недеформируемая балка повернётся относительно шарнира на некоторый угол. Такое смещение будет сопровождаться растяжением стержня 1 и сжатием стержня 2. Поскольку деформации малы, дугу окружности считаем прямой линией, перпендикулярной . Перемещение точки в происходит путём удлинения стержня на величину (из точки в точку ) и поворота его, при котором точка перемещается в точку .

Аналогичные рассуждения качаются и стержня 2.

Соотношения между удлинениями и находим из подобия треугольников и :

или . (1.2)

Рис. 1.2.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

С другой стороны, из рассмотрения треугольников и имеем

; .

Подставляя эти величины в уравнение (1.2), получим следующее уравнение совместности деформаций

. (1.3)

Выразим в последнем уравнении деформации через усилия по закону Гука

; . (1.4)

В формулах (1.4) деформации и имеют знак «+», так как по схеме на рис.1.4 они соответствуют усилиям, показанным на рис.1.3: – удлинение, сила – растяжение; – укорочение, сила – сжатие. В случае несоответствия деформации и силы в выражении для надо ставить знак «-».

Подставим (1.4) в (1.3) и получим следующее уравнение

. (1.5)

Отметим попутно

см; см

Перепишем (1.5) с учётом заданного соотношения

,

. (1.6)

1.1.4. Решаем систему уравнений (1.1) и (1.6):

В результате получаем значения усилий в стержнях

кН; кН .

Знаки «+» усилий говорят о том, что на рис.1.3 принято правильное их направление: – растяжение, – сжатие. Таким образом, мы раскрыли статическую неопределимость, то есть нашли значения неизвестных усилий в стержнях: кН, кН.

1.1.5. Определяем площади поперечных сечений стержня из условий прочности

, (1.7)

откуда

см²; см^{2 .}

Допускаемые напряжения приведены в кН/см².

Два последних неравенств с учётом заданного соотношения позволяют назначить следующие площади поперечных сечений стержней

см²; см² .

Следует обратить внимание на то обстоятельство, что второй стержень оказывается недогруженным, так как по условию прочности для него достаточна площадь 9,4 см² .