Книга по ЦОС в формате pdf

Преобразование L : CN → CN называется линейным, если

L(c1x1 + c2x2) = c1L(x1) + c2L(x2)

для любых x1, x2 из CN и любых c1, c2 из C.

Простейшим примером линейного преобразования является оператор сдвига P, сопоставляющий сигналу x CN сигнал x′ = P(x) с отсчетами x′(j) = x(j − 1).

Преобразование L : CN → CN называется стационарным, если равен• ство L(P(x)) = P(L(x)) справедливо для всех x CN . Из данного опреде• ления очевидно следует, что

L(Pk(x)) = Pk(L(x)), k = 0, 1, . . .

Здесь P0 тождественный оператор. Существует критерий линейности и стационарности оператора. Приведем его без доказательства

Теорема 5.2. Для того, чтобы преобразование L : CN → CN было линейным и стационарным необходимо и достаточно, чтобы

Оператор, который допускает представление (5.5) называется филь• тром, а сигнал h его импульсной характеристикой.

Пример 5.1. В качестве примера фильтра рассмотрим операцию взятия конечной разности r-го порядка. Напомним определение конечной разности

1x(j) = x(j + 1) − x(j), rx(j) = r−1x(j + 1) − r−1x(j).

Можно записать конечную разность r-го порядка через значения сигнала

x(j)

Xr

rx(j) = (−1)r−l Crl x(j + l).

l=0

Покажем, что rx = x hr, где

11

Согласно (1.1) имеем

NX−1

=x(k) hr(j − k) = [x hr](j),

k=0

что и требовалось установить.

Таким образом оператор r : CN → CN является фильтром с им• пульсной характеристикой hr вида (5.6).

Возьмем фильтр L(x) = x h и обозначим H = FN (h). Напомним, что

Таким образом, экспоненциальные функции uk образует полный набор собственных функций любого фильтра L(x) = x h, при этом функции uk соответствует собственное значение H(k) = [FN (h)](k), k 0 : N − 1.

6.Линейная свертка

Вприкладных задачах часто приходится рассматривать конечные непериодические последовательности, длины которых могут быть различны. Для вычисления свертки таких последовательностей в результаты преды• дущего раздела следует внести некоторые изменения.

12

Рассмотрим две конечные последовательности x и y длины по N1 и N2 отсчетов, т. е. x(j) отлична от нуля при 0 6 j 6 N1 − 1, а y(j) соот• ветственно при 0 6 j 6 N2 − 1. Линейной или апериодической сверткой

этих последовательностей называют последовательность u(k), определяе• мую соотношением

Xk

m=0

где x(m) и y(k − m) равны нулю вне соответствующих интервалов.

Замечание 6.1. Формула (6.1) является частным случаем форму• лы (5.1) для циклической корреляции, с учетом свойств последователь• ностей x и y.

Очевидно, что последовательность u(k) является конечной и имеет длину N1 + N2 − 1. Из формулы (6.1) очевидно, что последней ненулевой точкой последовательности u будет u(N1 + N2 − 2) = x(N1 − 1)y(N2 − 1). Таким образом, чтобы воспользоваться формулой (5.3) для вычисления линейной свертки (6.1), необходимо дополнить последовательности x и y нулями, так чтобы они содержали по N1 + N2 − 2 отсчетов

Тогда можно считать, что xp, yp CN1+N2−1. Используя (5.3), вычисляем up = xp yp. В силу построения xp и yp очевидно, что

up(j) = u(j), j 0 : N1 + N2 − 2.

7.Циклическая корреляция

Взаимной корреляцией сигналов x и y называется сигнал Rxy с отсче•

тами

NX−1

Rxy = x(k) y(k − j), j Z.

k=0

Положим y1(j) = y(−j). Тогда

13

где X = FN (x), Y = FN (y). Доказательство. В силу (7.1) и (5.2)

FN (Rxy ) = XY1, где Y1 = FN (y1).

Применя формулу (1.4) (для l = 0) и определение ДПФ (2.2) получаем

Замечание 7.1. Вычисление циклической корреляции можно интер• претировать, как вычисление произведения левоциркулярной матрицы

Сигнал Rxx называется автокорреляционной функцией сигнала x. Со•

Лемма 7.1. Справедливо неравенство

|Rxx(j)| 6 Rxx(0) при j 1 : N − 1.

Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского

NX−1

=|x(k)|2 = Rxx(0).

k=0

14

Рассмотрим некоторые свойства циклической корреляции

1.Автокорреляционная функция Rxx является четной функцией при лю• бом x CN .

Согласно (7.3) преобразование Фурье автокорреляционной функции вещественно, тогда по п.1 теоремы 4.1 функция – четна. Можно дать и непосредственное доказательство. Используя (1.3) получаем

2. Справедливо равенство

NX−1

Rxx(j) = |X(0)|2.

j=0

Действительно по теореме 7.1 о корреляции и согласно определению ДПФ (2.2)

NX−1

Rxx(j) = [FN (Rxx)] (0) = |X(0)|2.

j=0

3.Пусть u = x y. Тогда Ruu = Rxx Ryy .

Согласно теореме 7.1 о корреляции и теореме 5.1 о свертке

FN (Ruu) = U U = |U |2 = |FN (u)|2 = |FN (x y)|2 = |X|2|Y |2 =

= FN (Rxx) FN (Ryy ) = FN (Rxx Ryy ).

Таким образом FN (Ruu) = FN (Rxx Ryy ). Отсюда, по формуле обра• щения (2.3) Ruu = Rxx Ryy .

4. Справедлива формула

15

C другой стороны, согласно (2.7) и (7.3)

Правые части в этих соотношениях одинаковы, следовательно левые части равны.

Как было показано ранее система сдвигов единичного импульса (1.2) образует ортонормированный базис в пространстве CN . Существуют ли еще сигналы, сдиги которых образуют ортонормированный базис? Ответ этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 7.2. Сдвиги2 {x(· − k)}Nk=0−1 сигнала x образуют ортонорми• рованный базис в пространстве CN тогда и только тогда, когда Rxx = = δN .

Следствие 7.1. Для того, чтобы сдвиги {x(· − k)}Nk=0−1 сигнала x образовывали ортонормированный базис в пространстве CN необходимо и достаточно, чтобы |X(k)| = 1 при k 0 : N − 1.

Доказательство. Необходимость. Если {x(· − k)}Nk=0−1 – ортонормиро• ванный базис, то по предыдущей теореме 7.2 Rxx = δN . Согласно (2.6)

имеем FN (Rxx) = 1. В силу (7.3) получим |X(k)| = 1 при k 0 : N − 1. Достаточность. Пусть |X| = 1. Тогда согласно (7.3) FN (Rxx) = 1. В

силу (2.6) Rxx = δN . Применяя теорему 7.2, получаем требуемое.

Возьмем N комплексных чисел Y (k), k 0 : N − 1, по модулю равных единице, и с помощью обратного преобразования Фурье (2.4) построим сиг• нал FN−1(Y ). Согласно следствию 7.1 к теореме 7.2 его сдвиги {y(·−k)}Nk=0−1 образуют ортонормированный базис в пространстве CN . Разложим произ• вольный сигнал x по этому базису.

NX−1

и вычислим коэффициенты разложения c(k). Для этого умножим скалярно (7.4) на y(· − l). Получим

NX−1

hx, y(· − l)i = c(l) = x(j) y(j − l) = Rxy (l).

j=0

2x(·−l) обозначает сигнал x, сдинутый на l отсчетов назад: x(j) = x(j −l), j 0 : N −1.

16

Тогда формула (7.4) принимает вид

NX−1

x = Rxy (k) y(· − k).

k=0

8.Оптимальные пары сигнал-фильтр

Фильтр L с импульсной характеристикой h называется согласованным с сигналом x, если

Согласованный фильтр существует для любого сигнала x. Например, мож• но положить h(j) = x(−j), j Z. В этом случае

NX−1

[x h](j) = x(k) x(k − j) = Rxx(j).

k=0

Выясним вопрос о единственности согласованного фильтра.

Теорема 8.1. Пусть x CN – сигнал, у которого все компоненты спектра отличны от нуля. Тогда импульсная характеристика h согласо• ванного с сигналом x фильтра определяется единственным образом.

Если у спектра X сигнала x есть нулевые компоненты, то согласован• ный фильтр неединственен. Определим частотную характеристику

(

где ck – произвольные комплексные числа. Тогда по формуле обращения (2.4)

h(j) = N1 NX−1 H(k) ωNkj , j Z,

k=0

получаем аналитическое представление импульсных характеристик всех со• гласованных с сигналом x фильтров.

Действительно, сигналы вида (8.2), и только они удовлетворяют усло•

вию

X(H − X) = 0,

которое в силу (7.3) равносильно тому, что

XH = FN (Rxx).

17

Применим к обеим частям последнего равенства оператор FN−1, получим

x h = Rxx.

Обозначим через

нормированную автокорреляционную функцию ненулевого сигнала x. Если

то сигнал x называется дельта-коррелированным. Нетрудно описать все множество таких сигналов.

Теорема 8.2. Для того, чтобы ненулевой сигнал x был дельта-кор• релированным, необходимо и достаточно, чтобы он допускал представле• ние

где ck – ненулевые комплексные коэффициенты, по модулю равные между собой.

Доказательство. Необходимость. Переведем равенство (8.3) в спек•

|X(k)| ≡ A > 0. Согласно тождеству Пaрсеваля (2.8) в силу определения Rxx имеем

k=0

18

Замечание 8.1. Обратное, вообще говоря неверно. Например, в C4 сигналы x и y, имеющие на основном периоде следующие отсчеты x = = (1, 1, 1, −1), y = (1, −1, 1, 1), ортогональны, но коррелированы, посколь• ку

X3

Rxy (2) = x(k) y(k − 2) = x(0) y(−2) + x(1) y(−1) + x(2) y(0) + x(3) y(1) =

k=0

= x(0) y(2) + x(1) y(3) + x(2) y(0) + x(3) y(1) = 4 6= 0.

Примером ортогональных и попарно некоррелированных сигналов явля• ются сигналы из ортогонально экспоненциального базиса. (2.5). По опре• делению uk(j) = ωNkj , k 0 : N − 1. Тогда при k =6 k′

для всех j Z. В предпоследнем равенстве мы воспользовались формулой

(2.1).

Величина

NX−1

E(x) = |x(j)|2

j=0

Рассмотрим несколько примеров известных дельта-коррелированных сигналов.

1.Сигнал Франка v принадлежит пространству CN 2 и определяется фор• мулой

v(j1N + j0) = ωNj0 j1 , j1, j0 0 : N − 1.

Очевидно, что энергия сигнала Франка

N 2−1

X

E(v) = |v(j)|2 = N 2.

j=0

Покажем, что сигнал Франка является дельта-коррелированым. В си• лу теоремы 8.2 достаточно установить, что |V (k)| = N при всех k Z.

19

По определению ДПФ (2.2)

NX−1

= N ωN−kj2 0 δN (j0 − hkiN ) = N ωN−k2 hkiN .

j0=0

2. Сигнал Задова-Чу aq CN определяется соотношениями

(

ωj2+2qj , при четном N , aq (j) = 2N

ω2jN(j+1)+2qj , при нечетном N ,

где q Z – параметр.

Ненулевому сигналу x CN сопоставим фильтр подавления боковых лепестков (ФПБЛ). Его имульсная характеристика определяется из усло• вия

Сигнал вместе со своим ФПБЛ образуют пару сигнал-фильтр. Переведем равенство (8.6) в спектральную область

XH = E(x) · 1.

Из этого соотношения видно, что ФПБЛ существует тогда и только тогда, когда все компоненты спектра X сигнала x отличны от нуля. При этом

Рассмотрим экстремальную задачу: среди сигналов с заданной энерги• ей найти такие у которых импульсная характеристика ФПБЛ имеет наи• меньшую энергию. Формализуем задачу. Пусть E(x) = A – фиксированное положительное число. Тогда

Решение задачи (x , h ) называется оптимальной парой сигнал-фильтр. Справедлива теорема.

Теорема 8.3. Минимальноe значение γ в задаче (8.7) равно единице. Оно достинается на любом дельта-коррелированном сигнале x , у кото• рого E(x ) = A. При этом оптимальным ФПБЛ является согласованный фильтр.

20