Задача 1.10
Проанализируйте полученные результаты решения, представленные в задачах 1.8, 1.9. Примите гипотезу о нормальном распределении частот рассматриваемого вариационного ряда. Произведите его математическое выравнивание с помощью кривой нормального распределения. Рассчитайте критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова. Сопоставьте полученные результаты с их табличными значениями. Сформулируйте выводы. Изобразите на графике (совместно) эмпирический и теоретический ряды распределения.
Краткие методические указания к решению задачи 1.10.
Под математическим выравниванием частот эмпирического ряда в общем случае понимается замена его теоретическим рядом распределения, имеющим определенное аналитическое выражение (параметры последнего определяются по данным эмпирического ряда).
В практике статистического исследования приходится встречаться с самыми различными распределениями. Наиболее распространенными является нормальное распределение. Для того, чтобы построить нормальное распределение достаточно располагать двумя статистическими характеристиками – и , расчеты которых неоднократно проводилась в предшествующих задачах данной работы.
Кривая нормального распределения выражается уравнением:
,
где
– ордината кривой нормального
распределения;
,
e – математические
константы,
= 3,1416; e = 2,7132 – основание
натурального логарифма.
В этом уравнении рассматривается как функция t, то есть каждому значению t соответствует определенное значение .
Например, если t = 0, то
.
Так как
= 1; при t = 1;
.
Точечная функция затабулирована и представлена во всех учебных пособиях по теории статистики как приложение (таблица значений распределения вероятностей в случае нормального распределения).
Последовательность расчета теоретических частот по этой формуле сводится к следующему:
1. Рассчитывается средняя арифметическая ряда ;
2. Рассчитывается среднеквадратическое отклонение σ;
3. Находится нормированное отклонение
каждого варианта от средней арифметической
т.е.
;
4. Для найденных t по таблице
значений:
находится
(теор);
5.Рассчитывается константа
;
6. Каждое значение (1) умножается на константу const.
Результаты умножения (после округления до целых чисел) будут искомыми частотами теоретической кривой распределения.
После выравнивания ряда, т.е., исчисления теоретических частот возникает необходимость в проверке, «случайности» или «не случайности» расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, и тем самым проверки правильности выдвинутой гипотезы об обоснованности нормального распределения. В этих целях рассчитываются критерии согласия:
а) критерии согласи Пирсона:
.
Полученные результаты расчетов значение
сравнивается с табличным значением при
принятом уровне значимости (0,10; 0,05; 0,01)
к заданным числом степеней свободы (см.
в приложениях к учебным пособиям таблицу
значений, t-критерий).
Число степеней свободы определяется
как число групп в ряду распределения
минус число параметров и минус единица:
K-n-1.
При определении нормального распределения используется 2 параметра – это , и σ, т.е., если К = 6, то число степеней свободы определяется 6 – 2 – 1 = 3;
Если фактическое значение
оказывается меньше табличного, то
расхождение между эмпирическими и
теоретическими частотами признается
случайным и распределение не отвергается;
б) критерий Романовского
Если значение критерия Романовского меньше 3, то можно считать расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайным;
в) критерий Колмогорова
,
где d – максимальная разность между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; n – число единиц совокупности.
При принятом уровне значимости и заданном числе степеней свободы по специальной таблице значений Функции Колмогорова определяется расчетное значение критерия, которое сопоставляется с расчетным. Ниже представляется последовательность расчетов и их результаты.
В расчете использованы следующие
статистические характеристики:
;
;
i = 1500.
Таблица 26