Пример. Максимизировать

(13.31)

при условиях

(13.32)

 – целые. (13.33)

0-й шаг. Оптимальный план задачи (13.31) – (13.33) следующий: . Имеем . План  не удовлетворяет условию целочисленности (13.33). Возьмем его не целочисленный компонент  и разобьем  на два множества:

, где

,   .

1-й шаг. Решим две ЗЛП, состоящие из в максимизации функции (13.31) по  и .

 Решение задачи :

Номер итерации	Базисные переменные
0		6	-1	3	1	0	0	2
		35	7	1	0	1	0	35
		4	1	0	0	0	1	-
	F	0	-7	-9	0	0	0
I		2	-1/3	1	1/3	0	0	-
		33	22/3	0	-1/3	1	0	9/2
		4	1	0	0	0	1	4
	F	18	-10	0	0	3	0

II		10/3
		11/3
		4	1	0	0	0	1
	F	58	0	0	0	3	10

        Максимум достигается при .

        Решение задачи :

Номер итерации	Базисные переменные
0		6	-1	3	1	0	0	-
		35	7	1	0	1	0	5
		5	1	0	0	0	-1	5
	F	0	-7	-9	0	0	0
I		11	0	3	1	0	-1	11/3
		0	0	1	0	1	7	0
		5	1	0	0	0	-1	-
	F	35	0	-9	0	0	7
II		11	0	0	1	-3	-10
		0	0	1	0	1	7
		5	1	0	0	0	-1
	F	35	0	0	0	9	56

        Максимум достигается при ,  и .

        Производим разветвление по :

,

где  ,  .

Переобозначения: .

2-й шаг. Решаем две задачи линейного программирования, заключающиеся в максимизации функции (13.31) по множествам .

Решение задачи

Номер итерации	Базисные переменные
0		6	-1	3	1	0	0	–
		35	7	1	0	1	0	5
		3	1	0	0	0	1	–
	F	0	-7	-9	0	0	0
I		11	0	22/7	1	1/7	0	7/2
		5	1	1/7	0	1/7	0	35
		3	0	1	0	0	1	3
	F	35	0	-8	0	1	0
II		11/7
		32/7
		3	0	1	0	0	1
	F	59	0	0	0	1	8

        Максимум достигается при .

        Рассмотрим следующий шаг решения задачи.

   Исходная система (0-я итерация) оказалась приведенной к единичному базису . Однако свободный член в третьем уравнении отрицательный. Поэтому данной системе соответствует исходное базисное, но не опорное решение .

       Выделенное уравнение (третью строку) перепишем, умножив все коэффициенты на –1. Все свободные члены теперь положительные. Первое и второе уравнения (кроме выделенного) разрешены относительно базисных неизвестных  и . Дальнейшие преобразования системы будем проводить согласно правилам симплексных преобразований, выбирая разрешающий столбец из такого условия, чтобы он имел в выделенной (третьей) строке положительный элемент. Разрешающая строка выбирается из условия .

Решение задачи .

Номер итерации	Базисные переменные
0		6	–1	3	1	0	0
		35	7	1	0	1	0
		–4	0	–1	0	0	1
	F	0	–7	–9	0	0	0
I		6	–1	3	1	0	0	2
		35	7	1	0	1	0	35
		4	0	1	0	0	–1	4
	F	0	–7	–9	0	0	0
II		2	–1/3	1	1/3	0	0	–
		33	22/3	0	–1/3	1	0	9/2
		2	1/3	0	–1/3	0	–1	6
	F	18	–10	0	0	3	0
III		7/2	0	1	7/22	1/22	0
		9/2	1	0	–1/22	3/22	0
		1/3	0	0	–7/22	–1/22	–1
	F	63	0	0	–5/11	15/11	0

       В полученной после II итерации таблице выделенное третье уравнение снова оказалось не разрешенным относительно базисного неизвестного (первое и второе уравнения разрешены относительно ), но свободный член в этом уравнении уменьшился (2 вместо 4). Поэтому выполним III итерацию. Разрешающей строкой является вторая, разрешающим может служить только один столбец.

После III итерации приходим к таблице, в которой выделенная третья строка не имеет ни одного положительного элемента, кроме свободного члена. В этом случае исходная система уравнений не имеет ни одного решения с неотрицательными значениями неизвестных, в том числе и опорного решения.

Итак, множество  оказывается пустым и для него имеем . Получаем:

1)     ;

2)     ; ;

3)    

Производим разветвление из множества   , где   .

        Переобозначения: .

3 – й шаг. Решаем две задачи линейного программирования, заключающиеся в максимизации функции (13.31) по множествам  и .

Решение задачи :

Номер итерации	Базисные переменные
0		6	-1	3	1	0	0	0	–
		35	7	1	0	1	0	0	5
		3	0	1	0	0	1	0	–
		4	1	0	0	0	0	1	4
	F	0	-7	-9	0	0	0	0
I		10	0	3	1	0	0	1	10/3
		7	0	1	0	1	0	-7	7
		3	0	1	0	0	1	0	3
		4	1	0	0	0	0	1	–
	F	28	0	-9	0	0	0	7
II		1
		4
		3	0	1	0	0	1	0
		4
	F	55	0	0	0	0	9	7

        Максимум достигается при  и .

        Решение задачи :

Номер итерации	Базисные переменные
0		6	-1	3	1	0	0	0	–
		35	7	1	0	1	0	0	5
		3	0	1	0	0	1	0	–
		5	1	0	0	0	0	-1	5
	F	0	-7	-9	0	0	0	0
I		11	0	3	1	0	0	-1	11/3
		0	0	1	0	1	0	7	0
		3	0	1	0	0	1	0	3
		5	1	0	0	0	0	-1	–
	F	35	0	-9	0	0	0	-7
II		11	0	0	1	–3	0	-22
		0	0	1	0	1	0	7
		3	0	0	0	-1	1	-7
		5	1	0	0	0	0	-1
	F	35	0	0	0	9	0	56

        Максимум достигается при ,  и .

        Итак,

1)    

2)    

3)      ,

4)    

        Получим целочисленный  причем  

        Поэтому план  оптимальный.

        Главный недостаток алгоритма метода ветвей и границ заключается в необходимости полностью решать задачи линейного программирования, ассоциированные с каждой из вершин многогранника допустимых решений. Для задач большой размерности это требует значительных и, в известной степени, неоправданных с практической точки зрения затрат времени.

Таким образом, несмотря на отмеченные недостатки данного метода, можно утверждать, что в настоящее время алгоритмы метода являются наиболее надежным средством решения целочисленных задач, встречающихся в практических исследованиях. Это не означает, однако, что любая целочисленная задача может быть решена с помощью рассматриваемого метода. Тем не менее проблема выбора между методом отсечений и методом ветвей и границ в подавляющем большинстве случаев обоснованно разрешается в пользу последнего.