13.2. Условие целочисленности многогранных множеств

        Введем для задачи целочисленного программирования ряд понятий, аналогичных задаче линейного программирования.

Множество векторов  удовлетворяющих условиям (13.5) – (13.7), называется областью определения задачи целочисленного программирования (13.4) – (13.7).

Вектор X, удовлетворяющий условиям (13.5) – (13.7), называется планом (или допустимым решением) задачи целочисленного программирования (13.4) – (13.7).

Крайняя точка выпуклого многогранника множества D называется опорным планом.

План , обращающий в максимум линейную форму (13.4), называется оптимальным планом (или решением) задачи целочисленного программирования (13.4) – (13.7).

Если  – план (оптимальный план) и , то вектор  называется расширенным (расширенным оптимальным) планом задачи целочисленного программирования (13.4) – (13.7).

Введем следующие обозначения:

         D – область определения задачи (13.5) – (13.6);

          – область определения задачи (13.5) – (13.7);

         (D, F) – задача (13.4) – (13.6);

         ( , F) задача (13.4) – (13.7);

         X(D; F) – оптимальный план задачи (13.4) – (13.6);

         X( , F) – оптимальный план задачи (13.4) – (13.7);

         ( , F) – расширенный оптимальный план задачи (13.4) – (13.7).

Задача целочисленного программирования является разрешимой, если существует оптимальный план .

         Многогранник D, все опорные планы (вершины) которого целочисленные (т. е. все компоненты каждого из опорных планов целые), называется целочисленным многогранником.

         Решить задачу ( , F) – значит указать ее оптимальный план или установить, что такого плана не существует ( , если F не ограничена сверху на ). При решении задачи ( , F) следует выяснить возможность использования уже известных вычислительных процедур.

     Теорема 13.1. В случае целочисленности множества допустимых планов задачи (D, F) справедливы следующие утверждения:

1. Каждому допустимому базису В задачи (D, F) отвечает целочисленный базисный план X(B).

2. Если (B) – базисное решение задачи (D, F), то (B) также и оптимальный план задачи ( , F).

3. Оптимальный план задачи (D, F) является и решением задачи ( , F).

Доказательство. 1. Базисный план X(B) есть вершина целочисленного многогранника выпуклого множества D, и, следовательно, X(B) –целочисленный вектор.

2. Утверждение следует из включения .

3. Так как оптимальный план задачи (D, F) базисный, то (B) – решение задачи (D, F) – является также и решением задачи ( , F).

Замечание. Если D = , то и  = . Однако задача ( , F) может иметь решение и в том случае, если задача (D, F) не имеет решения (функция F может быть неограниченной сверху на D, в то время как множество  будет состоять из конечного числа точек).

Рассмотрим многогранное множество .

Естественно поставить вопрос: каким условиям должны удовлетворять матрица  и вектор правых частей , чтобы многогранное множество D (13.5) – (13.6) было целочисленным?

Матрица А называется унимодулярной, если каждый ее минор равен +1, –1 или 0. Примером унимодулярной матрицы является матрица транспортной задачи в матричной постановке.

Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

     Теорема 13.2. Если -матрица А унимодулярна, вектор  целочислен и D  , то многогранное выпуклое множество D целочисленно.

Доказательство. Известно, что  является экстремальной точкой множества D в том и только в том случае, если система    столбцов матрицы A, индексы которых отвечают положительным компонентам вектора , линейно независимы. Обозначим через k число векторов в множестве ; через  – квадратную подматрицу матрицы А порядка k, составленную из элементов множества  и таких k строк матрицы А, что det ; через – вектор, включающий k соответствующих компонентов вектора b. Тогда вектор , составленный из k положительных компонентов вектора , является решением системы линейных уравнений . Так как , в силу унимодулярности матрицы A он равен . Следовательно,  – целочисленный вектор (  – целочисленная матрица,  – целочисленный вектор),а значит, целочислен и вектор .

Следствие. Если в канонической задаче целочисленного программирования (13.4) – (13.7) матрица А унимодулярна и вектор b целочислен, то оптимальный план задачи (D, F), полученный любым методом, является решением задачи ( , F).

       Теорема 13.2 дает достаточные условия целочисленности для некоторых классов многогранных множеств. К сожалению в общем случае эти условия достаточно трудно проверить. Однако,  если  множество D  не  целочисленное,  то  оптимальный  план  задачи (D, F) может не быть целочисленным. Во многих случаях нельзя ограничиться и «приближенным решением» [ ]: мы не можем гарантировать допустимость вектора  [ ].