3.1.4 Другие системы счисления, используемые в компьютерных технологиях

Вверх

 

Восьмеричная система счисления. Числа, записанные в системе с основанием  8, называются  восьмеричными. Основание системы счисления - q = 8. Изображение чисел производится восьмью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.  Восьмеричная система счисления используется в ЭВМ для кодирования команд в целях сокращения записи.

Шестнадцатеричная система счисления. Основание системы счисления - q = 16. В шестнадцатеричной системе счисления алфавит включает в себя 16 символов (цифры и буквы):  0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F. Широко применяется для написания кодов операций констант и других специальных слов, не требующих перевода в десятичную систему счисления. В таблице 3.1 приведен алфавит для четырех систем счисления.

 

Таблица 3.1 - Алфавит систем счисления.

 

Основание	Название	Алфавит
2	двоичная	0 1
8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
10	десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

Любое число по специальным правилам можно перевести из одной системы счисления в другую. Рассмотрим эти правила.

Допустим, число Х из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием p. Числа, имеющие целую и дробные части, переводятся в два этапа: вначале целая часть числа, а затем дробная.

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую осуществляется по следующему правилу:

-          целую часть числа делим на новое основание p;

-          полученный от деления первый остаток является младшей цифрой целой части числа с основанием  р;

-          деление будем производить до тех пор, пока не получим частное меньше делителя;

-          последнее частное дает старшую цифру числа с основанием   р.

Пример. Число 191₁₀ перевести в восьмеричную систему счисления.

Перевод осуществим методом последовательного деления десятичного числа 191 на 8. Остатки от деления образуют восьмеричное число:

в результате .

 

 

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую. Предположим, что правильную дробь Х, представленную в системе с основанием q, требуется перевести в систему счисления с основанием р. Перевод осуществляется по следующему правилу:

-                     исходное число умножаем на новое основание р;

-                     полученная при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой;

-                     дробную часть снова умножаем на основание р и т.д.

Пример. Перевести число 0,1875₁₀ в  восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

 

 

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Результат: .

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления и обратно. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются вспомогательными системами при подготовке задачи к решению. Удобство ее использования состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему и обратно несложен и выполняется простым механическим способом.

Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием , нужно:

 данное двоичное число разбить слева и справа (целую и дробную части) на группы по  n цифр в каждой;

 если в последних правой и левой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить справа и слева нулями до нужного числа разрядов;

  рассмотреть каждую группу как n - разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием .

Значит для того чтобы произвольное число записать в системе счисления с основанием , т. е. перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-разрядным эквивалентом в двоичной системе счисления. Применительно к компьютерной информации часто используются системы счисления с основанием  8 (восьмеричная) и  16 (шестнадцатеричная).

Перевод  двоичных чисел в восьмеричную систему счисления. Для того чтобы двоичное число записать в восьмеричной системе счисления, необходимо разбить его на триады (т.е. группы по 3 цифры, так как ), начиная от запятой, отделяющей целую часть от дробной части. После этого каждая триада заменяется одной соответствующей ей восьмеричной цифрой. Недостающие справа и слева цифры восполняются нулями. Связь между двоичной и восьмеричной системами счисления приведена  в таблице 3.2. Каждой восьмеричной цифре соответствует тройка двоичных чисел.

 

Таблица 3.2 - Двоично-восьмеричная таблица

 

8 – ричная система счисления	2 –ичная система счисления
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

 

Пример. Перевести число  в восьмеричную систему счисления.

Перевод двоичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления. Для того чтобы двоичное число записать в 16-ричной системе счисления, необходимо разбить его на тетрады (группы из 4 цифр, т.к. ), начиная от запятой, в обе стороны. После этого каждая тетрада заменяется соответствующей ей 16-ричной цифрой. В этом случае используется двоично-шестнадцатеричная таблица.

Таблица 3.3 - Двоично-шестнадцатеричная таблица.

16 – ричная система счисления	2 – ичная система счисления	16 – ричная система счисления	2 – ичная система счисления
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	A	1010
3	0011	B	1011
4	0100	C	1100
5	0101	D	1101
6	0110	E	1110
7	0111	F	1111

 

Пример  Перевести число 1011101,10111₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления. Для перевода 8-ричного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру заменить соответствующей ей двоичной триадой. Для перевода 16-го числа в двоичную систему  счисления достаточно каждую шестнадцатеричную цифру заменить соответствующей ей двоичной тетрадой.

 

Пример.  Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления и восьмеричную.

Перевод осуществляется следующим образом:

 

0010	1010	0011,	0101	1001
2	А	3	5	9

 

т.е.

 

001	010	100	011,	010	110	010
1	2	4	3	2	6	2

 

т.е.

При переходе из 8-ричного счисления в 16-ричное счисление и обратно используется вспомогательный, двоичный код числа.

Пример. Перевести число  перевести в 16-ичное счисление, 1CD,  в 8–е счисление

          7        6        0       2                F          8         2

 

                          С        E        4          5         6          7               6      3         4

 

                       1         C        D             4               7      1         5          2