3.1.3 Двоичная система счисления

Вверх

 

В компьютерах для записи чисел используется двоичная система счисления.  В этой системе для представления любого числа используются два символа — цифры  0 и 1. Основание системы счисления 

Произвольное число с помощью формулы можно представить в виде разложения по степеням двойки:

        (3.3)

Таким образом, все числа в двоичной системе счисления составляются из цифр 0 или 1. Например, . Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее, применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ, так как для представления в машине разряда двоичного числа может быть использован любой запоминающий элемент, имеющий два устойчивых состояния.

Арифметические действия над одноразрядными двоичными числами выполняются по следующим правилам:

              

                

                

              

                                                 (3.4)

ЭВМ работают с двоичными кодами, пользователю удобнее иметь дело с десятичными или шестнадцатеричными кодами. Возникает необходимость перевода числа из одной системы счисления в другую.

Допустим, число A из системы счисления с основанием q требуется перевести в систему счисления с основанием 2.

Перевод целой части числа. При переводе целой части числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления применяется метод последовательного деления на число 2, равное основанию новой системы счисления. Полученное частное сравнивается с делителем. Если частное больше делителя, то теперь уже частное делим на основание системы. И так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя 2. Результат формируется путем последовательной записи последнего частного и всех без исключения остатков деления начиная с последнего.

 

Пример. Число  перевести в двоичную систему счисления.

Перевод выполним по следующей схеме:

в результате .

 

Для перевода числа из системы счисления с основанием 2 в десятичную, следует сложить все степени с основанием 2, соответствующие позициям разрядов исходного 2-го исла, в которых цифры равны 1.

Пример: Число  перевести в десятичную систему счисления.

Представим исходное число в виде:

 

Перевод дробных чисел. При переводе дробной части числа применяется метод последовательного умножения на число, равное основанию новой системы счисления.

Перевод осуществляется по следующему правилу:

-          исходное число умножаем на новое основание 2;

-          полученная при этом целая часть произведения является первой искомой цифрой;

-          дробную часть снова умножаем на основание 2 т.д.

Результат формируется путем последовательной записи целых частей произведения, начиная с первого.

 

Пример. Перевести число  в двоичную систему

 

 

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Результат: .

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся отдельно по соответствующим алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой  (точкой).

Пример. Перевести десятичное число 105,1875 в двоичную систему счисления.

Результат: .