3.1 Вимушені коливання в лінійних системах при гармонійній збурювальній силі

Розглянемо лінійну систему з урахуванням опору під дією гармонійної збурювальної сили. Диференціальне рівняння руху в узагальнених координатах має вигляд

(3.1)

де для механічних систем, наприклад, , а для електричного контуру:

Загальний розв’язок рівняння (3.1) має вигляд

,

де при відомо (див. 2.3), а – якийсь частинний розв’язок рівняння (3.1). Будемо шукати його у вигляді

Стандартна процедура визначення постійних та дає

(3.2)

Таким чином, розв’язок рівняння (3.1) приймає вигляд:

(3.3)

де і визначаєються за початковими умовами.

При розв’язок (3.3) описує рух коливальної системи за відсутності опору.

Розглянуті коливання є складними і складаються з власних (перший доданок в (3.3)) і вимушених коливань (другий доданок). Власні коливання після закінчення часу практично згасають і система буде робити коливання за законом

Ці коливання і називаються вимушеними. Величина характеризує зсув фази вимушених коливань по відношенню до фази збурювальної сили.

Для дослідження отриманих результатів введемо позначення:

де – величина статичного «відхилення» системи під дією «сили» . Тоді з рівності (3.2) отримаємо

(3.4)

Рисунок 3.4 – Залежності коефіцієнта динамічності від співвідношення частот

Величину називають коефіцієнтом динамічності системи. Залежність коефіцієнта динамічності від співвідношення частот показана на рис. 3.4 для різних значень

З (3.4) видно, якщо амплітуди вимушених коливань досягають максимуму. Таке явище називається резонансом. Максимуми кривих лише незначно зміщуються вліво від значення ; резонансне значення коефіцієнта динамічності часто називають добротністю системи.

Відзначимо, що однією з основних властивостей вимушених коливань є наступне: навіть при малій збурювальній силі можна отримати інтенсивне вимушене коливання, і навіть при великих значеннях збурювальної сили вимушені коливання можна зробити як завгодно малими.

Вимушені коливання і, зокрема, резонанс відіграють велику роль у багатьох галузях фізики і техніки: амортизуючі коливальні пристрої, реєструючі прилади, помножувачі частот і т.п.

3.2 Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора

Отримання замкнутих розв’язків задач про вимушені коливання при нелінійно-в'язкому терті або нелінійній відновлювальній силі навіть у разі моногармонічній збурювальній силі дуже важко. Навіть при застосуванні потужного методу пошука розв’язку у вигляді рядів Фур'є багато суттєві особливості поведінки нелінійних систем не виявляються досить виразно. Тому обмежимося деякими приватними випадками і окремими прийомами, що дозволяють з'ясувати найбільш характерні особливості даного явища.

3.2.1 Консервативна система з нелінійною відновлювальною силою

Розглянемо найпростішу нелінійну консервативну систему, описувану рівнянням

(3.5)

Приймемо, що система мало відрізняється від лінійної і тому вимушені коливання відбуватимуться з основною частотою

Будемо цікавитися тільки поведінкою амплітуди В. Якщо шукати вимушений розв’язок у вигляді то рівняння (3.5) прийме вигляд

. (3.6)

Рішення цього рівняння можна отримати графічним способом: визначення точок перетину прямої і графіка заданої функції (рис. 3.5).

Рисунок 3.5 – Графічне визначення амплітуди вимушених коливань

Рисунок 3.6 – Характерна резонансна крива систем з нелінійною відновлювальною силою

Для різних та можна побудувати певний аналог резонансних кривих для лінійних систем. Зобразимо резонансну криву (рис. 3.6) для деякої заданої амплітуди впливу і відзначимо особливості її поведінки. При отримаємо криву (скелетна крива - штрихова лінія), відповідну зв'язку власної частоти і амплітуди вільних коливань.

Аналіз характерної резонансної кривої дозволяє зробити наступні висновки:

1. При частоті в системі завжди відбувається однозначно визначений коливальний рух з амплітудою, яка залежить від частоти.

2. При можливі три режими руху:

, , .

Детальні дослідження показують, що два перших режиму стійкі, а третій режим нестійкий.

3. Відзначається неоднозначність протікання явища в залежності від напрямку зміни частоти збурю вальної дії. Поступове збільшення частоти від нуля призводить до збільшення амплітуди слідуючи вітки I. При деякому значенні система відчуває «зрив» амплітуди на вітку II (точки і ) і далі амплітуда зменшується слідуючи кривій II. Якщо ж після зриву амплітуди частоту зменшувати, то буде зростання амплітуди до точки , а її подальше зменшення призводить до зриву на вітку I (точка ).

4. При наявності тертя обидві вітки кривої сходяться і при збільшенні частоти зрив амплітуд стає неминучим.