1.5 Вільні коливання в електричному контурі з нелінійною ємністю

Розглянемо коливальний контур (рис.1.8), в якому немає лінійної залежності напруги на ємності від заряду. Такими властивостями володіють конденсатори з сегнетоелектриками. Згідно закона Кирхгофа

Рисунок 1.8 – Електричний контур

де – напруга на обкладинках конденсатора, – струм в системі. Тоді для зміни заряду маємо рівняння

(1.21)

Задамося залежністю вольт-кулоновської характеристики (рис.1.9) конденсаторів з сегнетоелектриками, що часто зустрічається у формі кубічної параболи виду

(1.22)

Рисунок 1.9 – Вольт-кулонівська характеристика конденсатора з сегнетоелектриками

де – ємність конденсатора при , – коефіцієнт нелінійності.

Рівняння (1.21) приймає вигляд:

(1.23)

де . Це рівняння відноситься до вже розглянутого раніше неліній-ного рівняння типу (1.7), тому його наближений розв’язок можна записати відразу

(1.24)

де

(1.25)

У цьому випадку ми так само зустрічаємося з неізохронністю коливань і явищем ангармонізму. Графік (рис.1.7) залежності частоти від амплітуди відповідає верхній кривій. Звернемо увагу на ту обставину, що при . Цей результат свідчить про недостатність використання тільки першого наближення методу. Більше того, якщо навіть вважати апроксимацію точною, то при великих амплітудах коливань перше наближення (1.24) і залежність (1.25) стають непридатними. У цьому також виявляється обмеженість методу послідовних наближень.

Метод ізоклин. Фазовий портрет можна побудувати й іншим методом - методом ізоклин. Ізоклинами на фазовій площині називаються лінії, на яких нахил фазових траєкторій однаковий. Продемонструємо побудову фазового портрету методом ізоклин на прикладі нелінійного контуру.

Введемо безрозмірний заряд , безрозмірний час , а також позначення Тоді рівняння (1.23) в фазових змінних прийме вигляд

(1.26)

Рівняння сімейства ізоклин запишуться у вигляді: , де – довільні числа, або

(1.27)

Рисунок 1.10 – Фазовий портрет контуру з нелінійною ємністю

Бачимо, що ізоклинами є кубічні параболи з різними коефіцієнтами . Виняток становлять дві ізоклини: нульова збігається з віссю координат і ізоклина нескінченності збігається з віссю координат Ізоклини і фазовий портрет зображені на

рис. 1.10.

1.6 Вільні коливання в контурі з нелінійною індуктивністю

З електричними системами такого типу (рис. 1.11) зустрічаємося тоді, коли в індуктивності використовуються сердечники з феромагнітного матеріалу. Крива намагнічення для феромагнетика представлена на рис. 1.12.

Рисунок 1.11 – Контур з феромагнітним сердечником

Рисунок 1.12 – Крива залежності магнітного потоку від струму в котушці

де – магнітний потік, – струм, що тече в котушці, – напруженість магнітного поля.

Користуючись рівнянням Кірхгофа

де – число витків котушки, які пронизує магнітний потік , його можна написати у вигляді

(1.28)

У фазових змінних рівняння (1.28) прийме вигляд

(1.29)

де – постійна інтегрування.

Приймаючи залежність магнітного потоку від струму , наприклад, за Дрейфуса

де – відповідні константи, можна знайти рівняння фазових траєкторій

. (1.30)

Фазовий портрет представлений на рис. 1.13, причому для малих і криві близькі до еліпсу.

Для обмеженого інтервалу значень струму коли величина струму не заходить далеко в область насичення, залежність можна апроксимувати функцією

(1.31)

де - коефіцієнт самоіндукції,

Рисунок 1.3 – Фазовий портрет контуру при залежності магнітного потоку за Дрейфуса

Рівняння фазових траєкторій тепер стане виду

яке є рівнянням сімейства кривих, близьких до еліпсу (особливо при малих ).

При прийнятої апроксимації (1.31) рівняння (1.28) запишеться наступним чином

. (1.32)

Метод послідовних наближень по при вирішенні рівняння (1.32) з тими ж початковими умовами і, обмежуючись лише першим наближенням, дає повний розв’язок виду

(1.33)

Таким чином, тут отримуємо якісно ті ж особливості руху, що і в роз-глянутих раніше випадках. Різниця полягає лише в співвідношеннях між амплітудами кратних гармонійних компонент, причому частота розв’язок збільшується з ростом амплітуди.

На закінчення відзначимо, що, якщо криву намагнічення представити у вигляді залежності і прийняти у вигляді

,

то рівняння вільних коливань в контурі з нелінійною індуктивністю запишеться так:

Сімейство фазових траєкторій і сімейство ізоклин якісно співпадуть з фазовим портретом (рис. 1.10) вільних коливань заряду в контурі з нелінійним конденсатором.