6 Схема испытаний бернулли Формула Бернулли

Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называют успехом) с одной и той же вероятностью Р(А) = р или произойти противоположное событие (такой исход называют неудачей) с вероятностью P( ) = q = 1 – p (такого рода схема испытаний называется схемой Бернулли). Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли

, m = 0, 1, 2,…, п.

Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в п испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

а) менее т раз – равна P_n(0) + P_n(1) +…+ P_n(m – 1);

б) более т раз – равна P_n(m + 1) + P_n(m + 2) +…+ P_n(n);

в) хотя бы один раз– равна P_n(m≥1) = 1 – P_n(0) = 1 – qⁿ;

г) не менее m₁ раз и не более m₂ раз – равна

.

Число m₀ (0 ≤ m₀ ≤ п) называется наивероятнейшим числом наступлений события А (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если P_n(m₀) ≥ P_n(m) для всех m = 0, 1, 2,…,п. Если вероятность р и q отличны от нуля; то число m₀ определятся из двойного неравенства

np – q ≤ m₀ ≤ np +p

Если в каждом из п независимых испытаний вероятность наступления события А равна p_i (числа p_i , вообще говоря, разные), то вероятность P_n(m) того, что в этой серии испытаний событие А наступит ровно т раз, равна коэффициенту при m-й степени (т. е. при z^m) многочлена

Функция при этом называется производящей функцией.

Полиномиальное распределение

Пусть теперь каждое из п испытаний может иметь только k исходов событий A₁, A₂, …, A_k с соответствующими вероятностями p₁, p₂, …, p_k (ясно, что . Тогда вероятность того, что в этих опытах событие A₁ появится m₁ раз, событие A₂ – m₂ раз,…, событие A_k – m_k раз (m₁ + m₂ +… +m_k = п) равна

.

Эта формула задает полиномиальное распределение вероятностей (название объясняется тем, что выражение для является общим членом полинома (p₁ + p₂ +…+ p_k)^п). Заметим, что схема Бернулли является частным случаем полиномиального распределения при k = 2, p₂ = 1 –p₁= q₁.

7 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ

Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний связано с громоздкими вычислениями, Поэтому при больших п вместо неё, как правило, используют приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Везде далее речь идет о серии п независимых испытаний по схеме Бернулли, P_n(m) означает вероятность ровно т успехов в этой серии.

Формула Пуассона

Если число испытаний п достаточно велико, а вероятность р достаточно мала, причём их произведение а = пр не мало и не велико (обычно достаточно условий р < 0,1; npq < 10), то вероятность P_n(m) можно приближенно найти по формуле Пуассона

.

Локальная формула Муавра-Лапласа

Теорема 7.1 Если число испытаний п достаточно велико, а вероятности р и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий п > 100, npq > 20), то вероятность P_n(m) можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа

,

где – функция Гаусса.

Таблица значений функции приводится в приложениях.

Интегральная формула Муавра-Лапласа

Теорема 7.2 В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов т заключено между т₁ и т₂ можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа

,

где , – функция Лапласа.

Таблица значений функции Ф(х) приводится в приложениях.

Пример. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».

Решение. По условию п = 1000, тп = 9, р = 0,007. Поскольку п – достаточно велико, р – мало (npq < 7), то для вычисления P₁₀₀₀(9) можно использовать формулу Пуассона. Имеем а = [пр] = 1000 ∙ 0,007 = 7, откуда