3 Вероятность случайного события Классическое определение вероятности

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Пусть производится опыт с п равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу п случаев.

Такое определение вероятности называется классическим.

Из классического определения следуют свойства вероятности: 0 ≤ Р(А) ≤ 1; P( )= 0; P(Ω) = 1; P( ) = 1 – P(A); Р(А + В) = Р(А) + Р(В), если А ∙ В =  .

Геометрическое определение вероятности

Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчётным) числом исходов является понятие «геометрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчёт вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т.д.).

Пусть пространство элементарных событий Ω представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области А, содержащиеся в Ω.

Вероятность попадания в область А точки, наудачу выбранной из области Ω, называется геометрической вероятностью события А и находится формуле

где S(А) и S(Ω) площади областей А и Ω соответственно.

Случай, когда Ω представляет собой отрезок или трёхмерную область, рассматривается аналогично ( и соответственно).

Аксиоматическое определение вероятности

Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию А (А – подмножество множества Ω) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причём так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):

P(A) ≥ 0; (3.1)

P(Ω) = 1; (3.2)

аксиома сложения: , если , (3.3)

т.е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Из аксиом (3.1)-(3.3) вытекают основные свойства вероятности P( ) = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю,

2 P(A) + P( ) = 1.

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1 для любого события А.

4. Р(А) ≤ Р(В), если А Í В.

5. , если и

Если множество Ω состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е. ), то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности

где m – число случаев (элементов) ω_i, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п – число элементов множества Ω (число всех исходов опыта).

Пример. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом.

1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

█Решение. 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде Ω = {Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, Б₅, Ч₁, Ч₂, Ч₃, Ч₄}. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, Б₅}.

Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности .

2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б₁, Ч₁), (Б₂, Б₃,), (Б₃, Б₂), (Ч₄, Б₅) и т.д. Число всех случаев равно .

а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по­явление двух белых шаров}, являются (Б₁, Б₂), (Б₁, Б₃), (Б₃, Б₅), (Б₃, Б₁) и т.д. Число таких случаев равно . Поэтому .

б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {появление хотя бы одного черного шара}, являются (Б₁, Ч₁), (Б₁, Ч₂), (Б₁, Ч₃), (Ч₃, Б₁), (Ч₁, Ч₂), (Ч₃, Ч₄) и т.д. Число таких случаев равно (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров будет черным. Отсюда . Этот же результат можно получить иначе, т.к. , то .█