1. Основні поняття теорії множин (поняття порожньої множини, універсуму, способи завдання множин).

Множина – сукупність об’єктів, в якій існуючі зв’язки між об’єктами ігноруються, а замість них об’єднуваним об’єктам приписуються нові, що характеризують належність до множини. Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Така множина позначається спеціальним символом Ǿ. Сукупність множин, які об’єднуються утворюють основну множину - універсум. Способи задання множин: 1) вербальний(словесний) 2)список, перелік елементів; 3) радикальний – за допомогою радиката, множина задається у вигляді {x/P(x)}

2.Основні операції над множинами.

Для ілюстрації операцій над множинами використовують кола (діаграми) Ейлера – Вена. Операції над множинами: об’єднання (сума, позначка -U); перетин (добуток,∩ ); різниця;диз’юнктивна сума(ксор).

3.Властивості операцій над множинами

Комутативні закони

1) A u В = В u А 2) А п В = В п А.

2.Асоціативні закони

1)A u (В u С) = (A u В) u С.

2)Ап(BпС)=(АпВ)пС

Дистрибутивні закони

1)A u (В п С) = (A u В) n (A u C).

2)Ап(В u С) = (А п В) u (A n C).

Властивості Ǿ та U 1. A u Ǿ = А.

2. А u Ā = U ;

3. А u U = U

4. Ǿ = U

5 А ∩ U = А

6. А ∩ Ā = Ǿ

7. А ∩ Ǿ = Ǿ

8. Ū = Ǿ

Закони ідемпотентності

5.1. A u А = А. 5.2. A n A = А.

Закон поглинання:

1: А u (А∩ В) =А

2 А ∩ (А u В) =А

Закони де Моргана

1. ¬(А u В) = Ā∩ ¬В 2.

¬ (А∩ В) = Ā u ¬В

Властивості доповнення, різниці та рівності

1) А u В = U ∩ А∩ В = Ǿ => В = Ā

2) ¬Ā(подвійне заперечення) = А

3) A- B=A∩¬B

4) A xor B = (A∩¬B)u(Ā∩B)

5) A xor B = B xor A

6)(A xor B)xor C= A xor(B xor C)

7) A xor Ǿ = Ǿ xor A = A

8) A  B  A ∩ B = A  A u B =B  A∩ ¬B = Ǿ

9) A = B  (A ∩¬B)u(Ā C B) = Ǿ

4.Геометрична інтерпретація множин

Для наглядного зображення співвідношень між підмножинами універсальної множини використовують діаграми Венна і круги Ейлера. За допомогою діаграм Венна можна графічно показати, чи належить деякий елемент х є U розглянутим множинам, чи ні. Побудова діаграм Венна полягає в розбитті на 2ⁿ областей за допомогою n фігур. Кожна фігура на діаграмі зображує окрему множину, n – число зображуваних множин. Діаграми Венна не відображають реальні відношення включення, що встановлені між множинами, а розглядають їх у загальному випадку. Індивідуальні відношення між заданими множинами зображують за допомогою кругів Ейлера. В цьому випадку множини, що не мають загальних елементів, зображуються не перетинними фігурами.

5.Поняття підмножини, рівність множин.

Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В. А = В – знак включення. Дві множини рівні, якщо вони містять однаковий набір елементів. Позначається А – В. Число елементів скінченої множини А позначимо через |А|.

6.Множина підмножин.

Для того щоб визначити множину, елементами якої є всі підмножини множини А називають множиною підмножин (множиною степенем – Булеан) і позначають Р(А). В разі кінцевої множини А, яка складається з n елементів множина підмножин Р від А міститиме лише два елемента.