Сопоставление формул механики поступательного движения и вращения вокруг неподвижной оси

Поступательное движение	Вращение
– линейная скорость	– угловая скорость
– линейное ускорение	– угловое ускорение
т – масса	J – момент инерции
– импульс	– момент импульса
– сила	– момент силы
или – уравнение движения	или – уравнение движения
– кинетическая энергия	– кинетическая энергия
– работа	– работа
– мощность	– мощность

Лекция 5 Колебания

Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.

Колебания называются периодическими если значения всех физических величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при её колебаниях, повторяются через равные промежутки времени.

Т₀ – период колебаний (наименьший промежуток времени, удовлетворяющий этому условию);

– частота колебаний;

– циклическая (круговая) частота (в электротехнике называют угловой частотой).

Гамоническими называют периодические колебания величины , если

или

где

– амплитуда колебаний;

– фаза колебаний;

– начальная фаза колебаний

Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся величины также совершают гармонические колебания той же частоты:

Амплитуды и соответственно равны и .

Разность фаз колебаний и S постоянна и равна (величина опережает S по фазе на ).

Величина опережает S по фазе на .

Сравнивая значения S и видно, что гармонически колеблющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Общее решение этого уравнения:

, где

А₁ и А₂ – произвольные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий

A₂ = S(0); A₁ = .

Общее решение можно привести к виду

, где

и .

Физическая величина S совершает гармонические колебания в том и только в том случае, если она удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний

, где .

Векторная диаграмма. Гармонические колебания можно изобразить графически с помощью вращающегося вектора на плоскости, модуль которого равен амплитуде А колебаний.

Вектор А равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью , равной циклической частоте

.

Сложение гармонических колебаний.

а) сложение колебаний одного направления

По теореме косинусов

, где

и

.

Негармонические колебания, получающиеся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами , называются биениями.

Пусть и

, где

.

Тогда , где

В частности, если А₁= А₂ = А₀ , то

и так что

.

Период биений –

Частота биений –

Любое сложное периодическое колебание можно представить в виде суммы простых гармонических колебаний с циклическими частотами, кратными основной циклической частоте

Такое представление периодической функции называется разложением её в ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.

б) сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты.

Пусть точка М одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОУ по законам:

и

Для получения уравнения траектории надо избавиться от t .

и

Тогда

Так как , получаем

или .

Траектория имеет форму эллипса, который колеблющаяся точка М проходит за время одного периода .

Если , где т = 0; +1; -1; +2; -2; … , то оси эллипса совпадают с осями ОХ и ОУ, а размеры его полуосей равны А₁ и А₂

.

Если при этом А₁ = А₂ , то траектория точки М – окружность.

При эллипс вырождается в отрезок прямой.

в) сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот:

и

п₁ и п₂ – целые числа .

точка М имеет траекторию в виде замкнутой кривой, называемой фигурой Лиссажу , зависящую от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний.