Понятие о кратном интеграле Римана.

Простейшим обобщением интеграла Римана по отрезку является кратный интеграл, то есть интеграл от функции переменных по области в . Схема построения интеграла Римана такая же, как для функции одной переменной. Область разбивается на множество малых подобластей. В каждой из подобластей выбирается точка, в которой вычисляется значение функции. Составляется сумма Римана – сумма произведений полученных значений функции на меру подобласти. Такой мерой является площадь подобласти в случае и объем в случае . Меняя разбиения области так, что подобласти стягиваются в точки, мы следим за значениями интегральных сумм Римана. В случае, когда эти суммы имеют предел, не зависящий ни от способа разбиения области на подобласти, ни от способа выбора точек в подобластях, где вычисляются значения функции в интегральных суммах, такой предел называют интегралом Римана соответствующей кратности по заданной области.

Вычисляют кратный интеграл Римана, сводя его к последовательности вычислений интегралов Римана по отрезку.

П р и м е р 1. Вычислить , где область – прямоугольник

. Перейдем от двойного интеграла к повторному, расставив пределы интегрирования по отрезкам в соответствии с изменением координат в прямоугольнике. При этом выбор последовательности интегралов не имеет значения:

В случае, когда область интегрирования не является прямоугольником, эту область проецируют на одну из координатных осей. Внешний интеграл берут по соответствующей координате. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле расставляют в соответствии с уравнениями границ.

П р и м е р 2. Вычислить , где – область, ограниченная кривыми и . Точками пересечения двух кривых являются (1,2) и (-1,2). Проекция области на ось OX – это отрезок [-1,1]. Следовательно, внешний интеграл возьмем по переменной вдоль

этого отрезка. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле – по переменной – зависят от местоположения переменной и равны: нижний , верхний . Таким образом, получим