Модуль 3.

ЗАНЯТИЯ 9, 10. Подпространства векторного пространства.

1. Доказать, что множество является подпространством векторного пространства . Найти его размерность и базис.

2. Найти размерность r и базис B линейной оболочки векторов:

   1. . Ответ: r=3, и .

   2. . Ответ: r=3, и .

   3. .Ответ: r=2, и .

3. Задать линейную оболочку векторов однородной системой линейных уравнений. Ответ:

4. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

   1. Ответ: .

   2. Ответ: система имеет только нулевое решение.

   3. Ответ:

5. Найти базисы и размерности для суммы и пересечения подпространств и пространства , если и . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 11. Линейные многообразия.

1. Найти базис направляющего пространства и вектор сдвига для многообразия M решений системы линейных уравнений: Ответ: в записи M=a+L имеем a=(0,1,1,0) и , где .

2. Выяснить, пересекаются ли в пространстве многообразия и , где и . Ответ: не пересекаются.

ЗАНЯТИЯ 12, 13. Процесс ортогонализации.

1. Ортогонализировать систему векторов пространства : . Ответ: .

2. Проверить, что векторы ортогональны и нормированы. Дополнить систему до ортогонального базиса пространства . Ответ: .

3. Построить ортонормированный базис линейной оболочки векторов . Ответ: .

4. Найти ортонормированный базис пространства решений однородной системы линейных уравнений: Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 14. Ортогональное дополнение.

1. В пространстве задано подпространство L однородной системой линейных уравнений: Найти ортогональные базисы в пространствах .

2. В пространстве найти базис ортогонального дополнения , если само подпространство L является линейной оболочкой векторов . Ответ: например, .

3. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x=(3,–5,2,–10) относительно линейной оболочки векторов . Ответ: y=(3,–6,–3,–3), z=(0,1,5,–7).

Модуль 4.

ЗАНЯТИЕ 15, 16. Ядро и образ линейного оператора.

1. Можно ли с помощью следующих равенств задать линейные операторы пространства ? Для линейных операторов найти их матрицы в базисе (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

   1. . Ответ: можно, .

   2. . Ответ: нельзя.

   3. . Ответ: нельзя.

   4. . Ответ: можно, .

2. Можно ли с помощью следующих равенств задать линейные операторы пространства ? Для линейных операторов найти их матрицы в базисе .

   1. . Ответ: можно,

   2. . Ответ: можно,

   3. . Ответ: можно, .

3. Найти базис ядра и образа линейного оператора φ пространства V, заданного в некотором базисе матрицей:

   1. Ответ: .

   2. Ответ: базис Im φ: ; базис ker φ: .

4. Найти ранг, дефект, а также базисы ядра и образа линейного оператора φ пространства , заданного условием: . Ответ: rang φ=3, df φ=0.

5. Доказать, что существует линейный оператор пространства , переводящий векторы соответственно в векторы . Найти его матрицу в базисе . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 17. Матрица линейного оператора.

1. Линейный оператор пространства V задан в базисе матрицей . Найти образ вектора . Ответ: .

2. Линейный оператор φ пространства переводит векторы соответственно в векторы . Найти его матрицу в базисе . Ответ: .

3. Линейный оператор φ пространства V задан в базисе матрицей . Найти его матрицу в базисе , если . Ответ: .

4. Линейный оператор φ в базисе имеет матрицу , а линейный оператор ψ в базисе матрицу . Найти матрицу линейного оператора φψ в базисе . Ответ: .

ЗАНЯТИЕ 18. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

1. Найти собственные векторы и собственные значения линейных операторов пространства , заданных в некотором базисе матрицами:

   1. . Ответ: , e=(1,0,1).

   2. . Ответ: , , , .

   3. . Ответ: , , , , , .

   4. . Ответ: , , , , .

2. Подобна ли матрица диагональной:

   1. Ответ: нет.

   2. Ответ: подобна матрице .

Департамент образования города Москвы

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования города Москвы

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и информатики

Математический факультет

Наименование дисциплины / курса	Уровень образования	Статус дисциплины в рабочем учебном плане	Количество зачетных единиц	Форма отчетности	Курс, семестр
Алгебра 2	Бакалавриат	Б3 вариативная часть	3	зачет	1 курс бакалавриата, 2 семестр

Модуль 1.
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудиторная или внеаудиторная	Минимальное количество баллов	Максимальное количество баллов
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения	Посещаемость (на каждом занятии 1 балл)	Аудиторная	-	2
Ведение записей лекций – академическая компетенция	Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно)	Аудиторная	-	3
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция	Выступления, проверка домашних заданий	Аудиторная и внеаудиторная	-	5
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция	Письменная работа, собеседование.	Внеаудиторная	-	8
Коллоквиум по материалу модуля	Коллоквиум	Аудиторная	-	4
Итого			-	22

Модуль 2.
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудиторная или внеаудиторная	Минимальное количество баллов	Максимальное количество баллов
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения	Посещаемость (на каждом занятии 1 балл)	Аудиторная	-	2
Ведение записей лекций – академическая компетенция	Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно)	Аудиторная	-	3
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция	Выступления, проверка домашних заданий	Аудиторная и внеаудиторная	-	5
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция	Письменная работа, собеседование.	Внеаудиторная	-	8
Коллоквиум по материалу модуля	Коллоквиум	Аудиторная	-	4
Итого			-	22

Модуль 3.
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудиторная или внеаудиторная	Минимальное количество баллов	Максимальное количество баллов
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения	Посещаемость (на каждом занятии 1 балл)	Аудиторная	-	3
Ведение записей лекций – академическая компетенция	Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно)	Аудиторная	-	4
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция	Выступления, проверка домашних заданий	Аудиторная и внеаудиторная	-	6
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция	Письменная работа, собеседование.	Внеаудиторная	-	10
Коллоквиум по материалу модуля	Коллоквиум	Аудиторная	-	5
Итого			-	28

Модуль 4.
Тема или задание текущей аттестационной работы	Виды текущей аттестации	Аудиторная или внеаудиторная	Минимальное количество баллов	Максимальное количество баллов
Посещение лекционных и семинарских занятий, дисциплинированность, культура поведения	Посещаемость (на каждом занятии 1 балл)	Аудиторная	-	3
Ведение записей лекций – академическая компетенция	Проверка и анализ конспектов (выборочно, произвольно)	Аудиторная	-	4
Активная работа на практических занятиях, выполнение домашних заданий – академическая и коммуникативная компетенция	Выступления, проверка домашних заданий	Аудиторная и внеаудиторная	-	6
Выполнение контрольной работы– академическая компетенция	Письменная работа, собеседование.	Внеаудиторная	-	10
Коллоквиум по материалу модуля	Коллоквиум	Аудиторная	-	5
Итого			-	28

Итого максимум

100

Необходимый минимум для допуска к промежуточной аттестации 41 балл.

Дополнительные требования для студентов, отсутствующих на занятиях по уважительной причине: устное или письменное собеседование по тематике пропущенных занятий, выполнение заданий практических занятий, выполнение контрольных и письменных работ.

Форма промежуточной аттестации: зачет – максимальное количество баллов 20 дополнительно к набранным.

Таблица соответствия с пятибалльной системой оценки знаний

Баллы	0 ‑ 40	41 ‑ 60	61 ‑ 80	81 ‑ 100
Оценка	Неудовлетворительно	Удовлетворительно	Хорошо	Отлично