1. Скалярний векторний добуток. Властивості векторного добутку.

Векторним добутком векторів ā і називається третій вектор с=а×b

• Довжина вектора с дорівнює: |с|=|а|*|b|*sinȹ - кут між векторами а і b

• Вектор с перпендикулярний до кожного з векторів а і b

• Вектори а, b, cутворюють праву трійку векторів, тобто орієнтовані так, як орти i, j, k.

Властивості векторного добутку:

1. а×b = -b×a (анти комутативність)

2 (kā)×b=ax(kb)=k(а×b ), де k=const

3 āx(b+c) = ā×b×c (розподільність)

4 ā×b=0, коли ā=0, або b =0, або ā//b

5 Модуль вектора с= а×b дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а та b

2.Теорема про зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями.

Якщо a(x) – нескінченно мала функція в точці x0, то 1/ a(x) - нескінченно велика в точці x0, і навпаки, якщо f(x) – нескінченно велика функція в точці x0, то 1/ f(x) – нескінченно мала в точці x0.

Доведення:

Нехай a(x) при x→x0 є нескінченно малою функцією, тоді для довільного ɛ>0 існує ʛ>0 таке, що при |x-x0|<ʛ виконується нерівність: |a(x)|< ɛ. Звідси випливає, що |1/a(x)|>M=1/ɛ,

тобто функція 1/a(x) є нескінченно великою при x→x0.

3. Функції двох змінних. Область визначення.

Зміннв z називається функцією двох незалежних змінних х та у , якщо кожній парі (х;у) з деякої області їх зміни відповідає певне єдине значення величини z:

z=f(x;y)

Cукупність всіх впорядкованих наборів чисел виду (х,у), при якій функція z=f(x;y) приймає певні дійсні значення наз областю визначення функції.

4. Інтегрування функцій що містять іраціональності.

При інтегруванні виразів, що містять дробові степені змінної(тобто ірраціональності) методом підстановки, зводять підінтегральну функцію до раціонального дробу(раціоналізують інтеграл). Якщо підінтегральна функція є раціональним дробом відносно x^а, де а – дробове число, то в цьому випадку вводять нову змінну t=x^1/q, де q – спільний знаменник дробових показників степеня змінної х.

5. Необхідна ознака збіжності ряду.

Якщо ряд збігається, то границя його загального члену при n→∞ дорівнює нулю, тобто lim(n→∞)a_n=0.

Доведення: За умови збіжності ряду (∞∑n=1) a_n існує скінчена границя часткових сум lim(n→∞)S_n= lim(n→∞)S_n-1 = S. Тоді виразимо a_n через суму його n та (n-1) членів S_n= a₁+ a₂+...+ a _n , S_{n -1}= a₁+ a₂+...+ a_{n -1}, тоді a _n = S_n - S_{n -1.}. Остаточно маємо lim(n→∞)a_n = lim(n→∞) (S_n - S_{n -1}) = S – S = 0.

Якщо lim (n→∞) a_n ≠ 0 або не існує, то ряд (∞∑n=1) a_n розбіжний.

№25

Теория!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1. Матриці, основні поняття. Різновиди матриць.

Прямокутна таблиця чисел Аij,де і=1,2…m,та j=1,2… n,яка складається з m рядків та n стовпців називається матрицею.

Рызновиди матриць:

1. Якщо m=n, то матриця називається квадратною. Квадратну матрицю розміром

m×n називають матрицею n-го порядку.

2. Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють 0.

3. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі=1, називається одиничною. Позначають буквою E.

4. Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, =0.

5. Матрицю, всі елементи якої =0, називають нульовою і позначають буквою О.

6. Матриця,в якої лише один рядок називається матрицею-рядком, а матриця, в якої лише один стовпець - матрицею-стовпцем. нульовою.

7. Діагональна матриця називається скалярною,якщо всі елементи головної діагоналі рівні між собою.

8. Матриця А називається узгодженою матриці В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

9. Якщо в матриці А поміняти місцями рядки і стовпця із збереженням їх порядку,то одержана матриця буде називатися транспортованою до матриці А і позначатися А^Т.