14. Описание многосвязных систем уравнениями Коши относительно переменных состояния

Исходное дифуравнение многосвязных систем мб представлено в форме Коши в матричной записи:

dx/dt=Ax+Bu+Ef; y=cx, u=Dx (1)

x=‌//xi//’l на n – матрица – столбец фазовых координат системы, n – порядок дифуравнения.

Величина xi представляет собой некоторые абстрактные величины, в задании которых полн-ю определяет текущее состояние системы и которые называются‌ фазовыми координатами.

При этом состояние системы можно сопоставить положение изображений точки в n-мерном пространстве, которое называется пространством состояния.

Характеристическое уравнение, соответствующее (1) имеет вид: /Ip-A-BD/=0, где I единичная матрица размерностью nxn, у которой все эл-ты главной диагонали =1, а остальные нули.

15. Векторная запись исходных уравнений многосвязных систем. Замена базиса переменных состояния.

Пусть имеется система векторов х1,х2,..,хn (1)

Для данной системы базисом называется такая линейно независимая подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы. Рангом системы векторов (1) называется наибольшее число линейно независимых векторов этой системы. Свойство базиса – количество векторов системы не зависит от выбора базиса и равно рангу этой системы вектора.

Пусть вектора е1,е2,..,еn образуют базис n-мерного линейного пространства. Тогда любой вектор этого пространства мб единственным образом записан в виде

х=λ1e1+ λ2e2+…+λnen (2)

λ – некоторые числа.

Выражение (2) называется разложением вектора х по базису пространства.

Если λi принять за координаты вектора х, то х=[λ1/λ2/…/λn] (3)

Выбор удачного базиса линейного пространства для представления его вектора имеет значение при решении практических задач.

Рассмотрим 2 базиса линейного пространства 1наN: е1,е2… и f1,f2…Каждый вектор второго базиса выражается через линейную комбинацию векторов первого базиса:

Получим выражение с учетом матрицы переходов:

f=Te.

Пусть матрица переходов имеет вид:

а вектор в обоих базисах представляется:

тогда

явл-с формулами перехода от координат вектор в одном базисе к координатам данного ветора в другом, а матрица Т в степени Т называется матрицей перехода

16, 17. Понятие управляемости систем. Критерий управляемости Калмана

Рассматриваемая система будет управляема если существует такое управление определнное на конечном интервале времени , которое переводит изображающую точку пространстве Х из подобласти Г1 в подобласть Г2.

Система управляема, если возможно перевести изображающей точки из любой области пространства в начало координат. Система будет полностью управляема, если каждое состояние управляема в этом смысле.

Калман доказал критерий управляемости, который гласит, что размерность v(ню) управляемой части системы , т.е. порядок первой группы уравнений системы:

совпадает с рангом матрицы.

18.Структурные условия управляемости систем.

Рассмотрим n-мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое фазовыми координатами x_i, i=1,n.

Пусть заданы 2 множества изображающих точек Г_{1 .} рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление , которое переводит изображающую точку из Г₁ в Г₂.

В более узком смысле под управляемостью можно понимать возможность перевода изображающей точки из любой области пространства Х в начало координат.

От пространства состояния Х перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования .R – матрица преобразования размерностью nxn.

Тогда система уравнений для управляемого объекта:

(1)

Введение новых фазовых координат может привести к тому, что часть управляющих величин не входит в некоторые уравнения (1) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у.

В случае неполностью управляемой системы ее исходные уравнения мб представлены в виде (2)

В соответствии с критерием управляемости Калмона размерность управляемой части системы, т.е порядок 1 группы уравнения (2) совпадает с рангом матрицы (3)

При система полностью управляема. - неполностью управляема, - полность неуправляемая.