8. Описание систем в форме «вход-выход» во временной и частотной областях

Р ассмотрим САР, работающую по замкнутому циклу. РО – регулирующий объект, ИЭ - исполнительный элемент, ПУ – Передающее устройство, ЧЭ – чувствительный элемент.

Предположим, что сначала, что ИЭ отключен и рассмотрим разомкнутую САР.

Регулирующее воздействие определяется по формуле u(t)=Wрег(p)x(t) (1)

х – ошибка регулирования, W – передаточная ф-я регулирования.

Регулируемая величина y(t)=W₀u(t)+W_f(p)f(t) (2)

W0 – передаточная функция по регулирующему воздействию, Wf = передаточная функция по возмущающему воздействию.

Подставляя (1) в (2) получим: y(t)=W(p)x(t)+W_f(p)f(t) (3)

W(p)=W0(p)Wрег(p)=R(p)/Q(p) (4)

W(p) – передаточная функция разомкнутой системы, Q и R – полиномы.

W(p) можно представить как отношение изобр-я регулирующей величины и ошибки регулирования при нулевых начальных условиях и отсутствия возмущающих воздействий. W(p)=Y(p)/X(p) (5), p=c+jω

Применительно к функциям времени в формулах (1-3) передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в оперативной форме записать дифуравнение, связывающее регулируемую величину с x(t) в разомкнутой системе. y(t)=W(p)x(t) (6), р=d/dt.

С учетом (4) можно записать: Q(p)y(t)=R(p)x(t) (7)

Рассмотрим теперь замкнутую систему. Уравнение замыкания имеет вид:

x(t)=g(t)-y(t) (8)

Решая совместно уравнения (3) и (8) получим:

(9)

(10)

Из формул (9-10) следует, что введение автоматического регулирования снижает отклонение регулирующей величины в 1+W(p) раз в сравнении с разомкнутой системой.

9. Описание систем уравнениями Коши относительно переменных состояния во временной и частотной областях

Предположим, что к системе приложено только 2 воздействия – задающее (g(t)) и возмущающее (f(t)). Кроме того, введем некоторые полиномы aij(p). Обычно совокупность уравнений решается либо относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения, т.е. ошибки, либо относительно регулируемой величины. В первом случае встречается часто, при этом получается ду D(p)x(t)=Q(p)g(t)+N(p)f(t)__(1). Полином D(p) характеризует свободное движение регулируемого объекта к регулятору и называется характеристическим полиномом.

D(p)=a0*p^n+a1*p^n-1+…+an-1*p+an__(2), где a0…an – в линеаризованной системе постоянные коэффициенты.

Q(p)= C0*p^n+C1*p^n-1+…+Cn-1*p+Cn__(3), где С0…Сn – постоянные коэф-ты, определяющие влияние управляющего воздействия g(t) на характер изменения ошибки х(t). В большинстве систем Q(p)g(t)=0.

Полином N(p) определяет влияние возмущающего воздействия на величину ошибки. Если для какого либо возмущения fk(t)<>0, полином Nk(p)=0, то говорят, что система инвариантна относительно этого возмущающего воздействия.

Решение относительно y(t) дает уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования. Уравнение Мб получено путем подстановки выражения для ошибки x(t)=g(t)-y(t) в уравнение (1):

D(p)y(t)=R(p)g(t)-N(p)f(t); R(p)=D(p)-Q(p)__(4).

R(p)= b0*p^m+b1*p^m-1+…+bm-1*p+bm (m<=n)

При заданных функциях времени в дифурах эти уравнения мб решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, т.е. мб найдено изменение ошибки во времени x(t) из уравнения (1) и движение объекта вместе с регулятором y(t) из уравнения (4). Уравнения 1 и 4 мб представлены также в форме Коши, т.е. в виде совокупности n уравнений первого порядка, где n – порядок полинома D(p)

Xj=Σ(от 1 до n) aij*xi+ Σ(от 1 до n)bij*fi; j=1..n__(5)

xj представляет собой координату фазовой системы, fi – задающее и возмущающее воздействие, aij,bij – вещественные числа. Если ввести оператор xj(c точкой)=p*xj(с точкой), то совокупность уравнений мб решена относительно любой из фазовых координат.