Пример 4. Построить эпюры n, q и м для бруса с ломаной осью изображенного на рис.4. 1 0. Решение. Опорные реакции находим из уравнений
1) åFkx=0 HA-F=0, откуда HA=F=10ql;
2) åFky=0 RA-2ql-RB=0;
3) åMA=0; -RB·2l=F·l-2ql·l=0.
Из уравнения (3) RB = (-2ql2+10ql2)/2l = 4ql.
Подставляя значение RB в (2) получим
RA=2ql+RB=2ql+4ql=6ql.
Проверка: ΣМв = Ra2l – 2ql · l – F · l = 0; 0 = 0.
Построим теперь эпюры M, Q и N для ломанного бруса. Брус имеет четыре грузовых участка. Для каждого из них составляем уравнения изгибающих моментов, продольных и поперечных сил.
Рисунок 4.10 Расчетная схема рамы и эпюры М, Q и N
Участок 1 (сечение 1-1).
M1=-HA×x1, где 0£x1£2l.
При x1=0 M1=0.
При x1=2l M1=-10×ql2ql=-20ql2; Q1=-HA=-10ql; N1=-RA=-6ql.
Участок 2 (сечение 2-2).
M2=RA×x2-HA×2l-qx22/2; Q2=RA-qx2=6ql-qx2; N2=-HA=-10ql, где 0£x1£2l.
При x2=0 M2=-20ql2, Q2=RA=6ql.
При x2=2l M2=6ql×2l-20ql2-(q/2)(2l2)=-10ql2; Q2=6ql×2l-2ql=4ql.
Участок 3 (сечение 3-3).
M3=-Fx3, где 0£x3£ l; Q3=F=10ql; N3=RB=4ql.
При x3=0 M3=0.
При x3=l M3=-10ql2.
Участок 4 (сечение 4-4)
M4 =0; Q4=0; N4=RB=4ql.
По результатам расчетов строим эпюру М, Q и N (рис. 4.10). Эпюра изгибающих моментов М (рис. 4.10) построена со стороны сжатых волокон.
При построении эпюр Q и N (рис. 4.10) положительные значения отложены с внешней стороны рамы и отрицательные значения внутри.
Пример 5. Построить эпюры М, Q и N для кривого бруса, приведенной на рис. 4.11
Рисунок 4.11 Расчетная схема кривого бруса.
Определяем опорные реакции
åFkx=0 HA=0
åFky=0 RA-F+RB=0
åMF(A)=0 -F×r+RB×2r=0
Из полученных уравнений определяем
RB=F/2 и RA=F/2
При определении внутренних усилий М, Q и N действующих в поперечных сечениях кривого бруса, сохраняется правило знаков, принятое для прямых брусьев, но не для N. Проведем через произвольную точку 0 участка I бруса поперечное сечение n-n. Положение этого сечения определяется углом φ (рис4. 11). С сечением n-n совместим ось Y подвижной системы координат; ось X перпендикулярна к ней и касательная к оси балки в точке О.
Составим выражения изгибающего момента M1, поперечной силы Q1 и продольной силы N1 в поперечных сечениях участка I бруса:
Сечение 1-1. (Рис. 4.12)
M1= M=RA(r-r×cosj1)=(F/2r)×(1-cosj1);
Q1= RAsinj1=F/2×sinj1;
N1= X=-RAcosj1=-F/2cosj1, где 0£j£90°.
Для участка 2:
M2=
M=RBr(1-cosφ2)=(Fr/2)×(1-cosφ2)
Q2= Y=-RBsinj2=(-F/2)sinj2
N2= X=-RBcosφ2=(-F/2)cosφ2, где 0 ≤ φ ≤ 90˚.
Рисунок 4.12 К определению внутренних сил кривого бруса.
Вычисленные значения М, Q и N приводим в табличной форме:
Таблица 1 Результаты расчетов
|
Участок I
|
Участок II
|
||||
j
|
M1
|
Q1
|
N1
|
M2
|
Q2
|
N2
|
0°
|
0
|
0
|
-0,5F
|
0
|
0
|
-0,5F
|
30°
|
0,0675Fr
|
0,25F
|
-0.4325F
|
0,0675Fr
|
-0,25F
|
-0,4325F
|
60°
|
0,25Fr
|
0.4325F
|
-0.25F
|
0,25Fr
|
-0.4325F
|
-0,25F
|
90°
|
0,5Fr
|
0,5F
|
0
|
0,5Fr
|
-0,5F
|
0
|
По результатам расчетов строим эпюры М, Q и N для кривого бруса.
Рисунок 4.13 Эпюры изгибающих моментов Ми, поперечных сил Q и продольных
сил N.