10. Транспортная задача.

# Имеется m пунктов отправления (пунктов произв-ва) А_i …, А_m, в ктр сосредоточены запасы однород.продуктов в кол-ве a₁, ..., а_m ед-ц. Имеется n пунктов назнач-я (пунктов потребления) В₁, ..., В_n, потреб-ть ктр в указанных продуктах составляет b₁, ..., b_n ед-ц. Известны также транспорт.расходы С_ij, связанные с перевозкой ед-цы продукта из пункта A_i в пункт В_j, (i 1, …, m; j 1, ..., n). Постановка задачи: Найти V перевозок д/кажд.пары «поставщ.-потреб.» так, чтобы: 1)мощ-ти всех пост-ков были реализованы; 2)спросы всех потреб-лей были удовлетворены; 3)затраты на перевозку были min. Особен-ти эк.-мат.модели ТЗ: 1)сис-мы огранич-й – есть сис-мы ур-ий; 2)коэф-ты при неизвестных в сис-мах огранич-й = 1 или 0; 3)кажд.переменная входит в сис-му огранич-й 2раза – 1раз в I сис-му и 1раз во II. Всякое неотриц.реш-е сис-мы лин.ур-й, опр-мое матрицей X=(x_ij) (i=1, …, m; j=1, ..., n), наз-ся планом ТЗ. План X=(x_ij)(i=1, …, m; j=1, ..., n), при ктр f-я принимает свое min значение, наз-ся оптимал.планом ТЗ. Если мощ-ть всех пост-ков=сум.мощ-ти потреб-лей, то такие задачи наз-ся закрытыми, в против.случае – открытого типа. Т: число r осн.(базисных) переменных закрытой ТЗ = m+n-1 (m-число пост-ков, n-потреб-лей). Кажд.разбиению переменных x_ij задачи на осн.(базисные) и неосн.(свобод.) соотв-ет базис.реш-е и, как следствие, заполнение таблицы поставок, ктр также наз-ся базисным. Др.словами, распред-е поставок наз-ся базисным, если переменные, соотв-щие заполненным клеткам, можно принять за осн.переменные. Клетки, отвечающие базис.переменным, наз-ся базисными, а клетки, соотв-щие свобод.перемен., свободными или пустыми.

11. Методы нахож-я начал-го реш-я трансп-й з-чи.

Д/начала нахождения оптимал.решения требуется найти исх.базисное распред-е поставок – опорный план. Рассмотрим метод «сев.-запад.угла» д/нахожд-я опор.плана. Переносим все коэф-ты из ур-й в таблицу – опорное реш-е выполнено. При этом цел.f-я принимает знач-е суммы произведений верх.угла клетки на нижний угол. Надо, чтобы число заполненных клеток было = m (мощ-ть пост-ков) + n (спрос потреб-лей) - 1. Недостаток этого метода в том, что он построен без учета знач-й коэф-тов затрат задачи. С др.стороны дан.метод допускает модификацию, лишенную этого недостатка, т.е. на кажд.шаге max-возможную поставку следует давать не в сев.-запад.клетку оставшейся таблицы, а в клетку с наим.коэф-том затрат. При этом распред-е поставок оказыв-ся ближе к оптимуму, чем распред-е, полученное методом сев.-запад.угла. Метод минимального элемента. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел. Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.