24. Ориентир-й граф и его графическая интерпретация. Локал-е степени. Матрица смежн-й. Ориентиров-е пути и связность в ориентир-м графе.

Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным; граф, содержащий только дуги – ориентированным или орграфом. Графическая интерпретация графа. Пусть Г=[А,В] - некоторый граф и А={a₁,a₂,…,a_p}, B={b₁,b₂,…,b_q}. Фиксируем на плоскости произвольным образом p точек и произвольным образом дадим им в качестве имен имена вершин данного графа. В итоге на плоскости возникнут точки, обозначенные как a₁,a₂,…,a_p. Затем для каждой пары точек a_i,a_j таких, что (a_i,a_j) є В, проведем отрезок прямой, соединяющий точки a_i, a_j. В результате таких действий возникнет некоторый рисунок, который и является геометрической интерпретацией графа. Замечание: одному и тому же графу соответствует много рисунков, которые могут быть его геометрическими интерпретациями. Если в некотором графе Г=[А,В], где А={a₁,a₂,…,a_p}, B={b₁,b₂,…,b_q} пара вершин a_i,a_j такова, что (a_i,a_j) принадлежит В, то вершины a_i,a_j называются смежными, причем каждая из них называется инцидентной ребру (a_i,a_j), а ребро (a_i,a_j) называется инцидентным каждой из вершин a_i,a_j. Если вершина a_i и ребро b_j инцидентны, то пишут a_i є b_j. Количество ребер, инцидентных данной вершине а называется ее степенью или локальной степенью графа в вершине а; степень вершины а обозначается через d(a). Вершины со степенью 0 называются изолированными. В любом графе количество вершин нечетной степени обязательно четно. Пустым называется граф без рёбер. Полным называется граф, в котором каждые две вершины смежные. Подграфом графа Г называется граф, в который входит лишь часть вершин графа Г вместе с дугами их соединяющими. Матрицей смежности M порядка n называется матрица, состоящая из чисел m_ij, равных сумме чисел ориентированных ребер, идущих из а_i в а_j (или чисел неориентированных ребер, соединяющих эти вершины). m[i,j]=1, вершина с номером i смежна с вершиной с номером j, или 0, вершина с номером i не смежна с вершиной с номером j. В ориентированном графе дуга обозначается упорядоченной парой, состоящей из начальной и конечной вершин (т.е. двумя концевыми вершинами дуги), ее направление предполагается заданным от первой вершины ко второй. Так, например, на рис. 2 обозначение (х₁ ,х₃) относится к дуге а₁. Другое, употребляемое чаще описание ориентированного графа G состоит в задании множества вершин Х и соответствия Г, которое показывает как между собой связаны вершины. Соответствие Г называется отображением множества Х в Х, а граф в этом случае обозначается парой G=(Х, Г). Путем (или ориентированным маршрутом) ориентированного графа называется последовательность дуг, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей. Ориентированной цепью (орцепью) называется такой путь, в котором каждая дуга используется не больше одного раза. Так, например приведенные выше пути (1) и (2) являются орцепями, а путь (3) не является таким, т.к. дуга а₆ в нем используется дважды. Простой орцепью называется такой путь, в котором каждая вершина используется не более одного раза. Например, путь (2) является простой орцепью, а пути (1) и (3) – нет.