
Лекция 12. Элементы квантовых статистик
Статистический метод применяется к исследованию систем, состоящих из большого числа однотипных частиц, а установленные закономерности носят вероятностный (статистический) характер. Примером таких систем являются идеальный или реальный газы, а свободные электроны, образующие в металле "электронный газ". Поскольку свойства электрона отличаются от свойств молекул газа, законы статистического распределения этих частиц оказываются различными. Необходимо подчеркнуть, что в квантовой механике необходимость статистического подхода обусловлена "дуализмом" микрочастиц (электронов).
12.1. Виды и особенности статистик
В зависимости от особенностей частиц, образующих систему, различают три статистики:
1. Статистика Максвелла – Больцмана является классической и применяется при статистическом подходе к изучению свойств идеальных или реальных газов (см. "Механика . . .". Лекция 13).
Допущения и подходы:
а) Молекулы газа – материальные точки, которые можно отличить друг от друга, т. е. индивидуальны, поэтому перестановка местами двух молекул, находящихся в разных состояниях, приводит к новому микросостоянию системы.
б)
Движение молекул подчиняется законам
классической механики. Состояние любой
из них однозначно определяют три
координаты -
и три
составляющие импульса -
,
причем
оба параметра могут изменяться непрерывно.
Отсюда следует, что возможны состояния
бесконечно мало отличающиеся друг от
друга координатами, импульсами или
энергиями, которые, однако, считаются
различными.
в)
В фазовом пространстве (шестимерное
-
)
каждая
молекула изображается фазовой точкой.
2.
Статистика Бозе – Эйнштейна – является
квантовой и применяется к системам
частиц с нулевым или целочисленным
спином (s
= 0, 1, 2 . . .
в единицах
).
Используется в теории теплоемкости
твердых тел и теории излучения.
Допущения и подходы:
а) Бозе - газ – это совокупность частиц или квазичастиц с нулевым или целочисленным спином – бозонов. К ним относятся: фотон (s = = 1), K – и - мезоны (s = 0), гравитоны (s = 2) и т. д.
б) Движение таких частиц описывается волновым уравнением Шредингера. В результате характеристики движения бозонов, например, импульс или энергия, становятся квантованными, т. е. могут принимать строго определенные значения.
в) Каждое значение, например энергии, соответствует определенному квантовому состоянию, причем в любом таком состоянии может находиться произвольное число микрочастиц (принцип Паули не выполняется).
г) Все микрочастицы тождественны, т. е. неотличимы друг от друга, поэтому перестановка их местами не приводит к появлению нового микросостояния системы.
3.
Статистика Ферми – Дирака является
квантовой и применяется к системам
микрочастиц с полуцелым спином (s
=
. . . в ед.
)
– фермионам. Используется, например,
для изучения поведения "электронного
газа" в металлах.
Допущения и подходы:
а) Электроны в "электронном газе" неразличимы. Это же справедливо и для бозонов.
б) Электроны обладают волновыми свойствами и их движение описывается волновым уравнением Шредингера. Каждое найденное значение энергии соответствует определенному квантовому состоянию электрона в твердом теле.
в) Электроны подчиняются принципу Паули, т. е. в каждом квантовом состоянии может находиться не более двух электронов, отличающихся друг от друга направлением спинов.
г)
Наличие у электрона волновых свойств
(соотношение неопределенностей) исключают
возможность различить два – состояния:
I -
с
,
и II
- c
,
,
если произведение
.
Это
произведение представляет собой элемент
шестимерного
фазового пространства или фазовую
ячейку
объемом
.
Эти представления справедливы и для
бозонов.
При
рассмотрении свободных электронов
предполагается, что их
во всех точках металла, т. е. распределение
электронов во всем объеме - равномерно.
В этом случае пользуются обычным
трехмерным пространством импульсов
,
разбивая
его на элементарные ячейки размером
.
В этом случае каждой такой ячейке
соответствует отдельное квантовое
состояние, отличимое от других.
Таким
образом, в классической статистике нет
ограничений на величину ячеек, полагая,
что они могут быть сколь угодно малыми.
Статистики Бозе – Эйнштейна и Ферми
– Дирака считают, что физический смысл
имеют только такие ячейки, размер которых
не менее
- для шестимерного фазового пространства
или
- для трехмерного пространства импульсов.
Различия
между статистиками легко заметить при
подсчете, например, числа возможных
распределений двух частиц (
)
в сосуде
из 2-х частей с учетом изложенных выше
допущений и подходов. Подобная задача
для четырех молекул (
)
рассмотрена ранее (см. "Механика . .
.". Лекция 13).
a
b a a a a
a b a a
a b a a
b a
О
бъемы
I II I II
I II
Статистика М – Б Б – Э Ф – Д
Число микро -
состояний 4 3 1