В ероятность нахождения мик- рочастицы на различных уча -
стках потенциальной ямы по определению
.
Графики функций
и
приведены
на ри-
сунках. Из полученных результатов следует, что у микрочастицы нет определенной траектории движения и все ее положения в "потенциальной яме" могут повторяться с определенной степенью вероятности. Например, при = 2 микрочастица не может быть в центре и на краях ямы, где ее вероятность равна нулю, но равновероятно ее нахождение как в левой, так и в правой частях "ямы".
6)
Пусть
"потенциальная
яма"
-
трехмерная,
тогда
где
- размеры
"ямы" вдоль соответствующих осей
координат (
).
В этом
случае собственным значениям энергии
соответствуют собственные функции
,
каждая из которых
.
Если
"яма" кубическая, то
и
каждое значение
может быть получено комбинацией целых
чисел, например, пусть
,
тогда
или
или
,
причем
каждой тройке чисел соответствует своя
функция
,
т. е. одному значению
(
= 6), могут
быть приписаны три состояния микрочастицы
с волновыми функциями
.
Такие состояния называются "вырожденными".
Для данного примера кратность "вырождения"
равна
= 3.
7) Чем больше значение главного квантового числа ( ), тем ближе квантовые представления к классическим.
8) С помощью волновой функции, как было показано выше, можно предсказать с какой вероятностью микрочастица может быть обнаружена в различных точках "потенциальной ямы". Наличие вероятностного подхода делает возможным "проникновение" (тунелирование) микрочастицы под потенциальным барьером конечной толщины. Это явление называется туннельным эффектом.
10.2. Квантовый гармонический осциллятор
В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач мы не будем, как в предыдущем случае, полностью решать соответствующее дифференциальное уравнение. Его мы составим и дадим решение с последующим анализом.
В
классической механике, на примере
пружинного маятника (см. "Механика .
. . ". Лекция 6) было получено
дифференциальное уравнение классического
гармонического осциллятора, колеблющегося
под действием упругой
или
"квазиупругой" силы.
Пусть
имеем квантовый линейный осциллятор,
например, как в модели Томпсона:
положительное ядро с зарядом
(неподвижное)
и колеблющийся около него электрон с
зарядом
.
Тогда, как
и в классическом случае,
,
а электрон колеблется (как возле
положения равновесия) с собственной
частотой
.
Величина
не зависит
от времени, тогда
или
.
Решением данного уравнения будут собственные функции и соответствующие им значения , которые в данном случае имеют вид
,
где
= 0, 1, 2, 3, 4, . . .
(главное квантовое число).
Анализ:
1)
При
= 0
- это
минимальная энергия квантового
осциллятора, которая называется нулевой
энергией.
2
)
Собственные значения энергии квантового
осциллятора квантованы и схема
энергетических уровней приведена на
рисунке. Шаг квантования равен
,
причем
и
т. д.
3)
Существование
при
доказано экспериментально при изучении
рассеяния света в данных условиях. С
позиций классической механики при
движения нет и
.
В квантовом осцилляторе при
,
т. е. движение атомов в кристаллической
решетке не прекращается.
4) Для квантового гармонического осциллятора переходы электрона (системы) из одного состояния в другое возможны только между соседними уровнями, т. е. = = 1. Это - "правило отбора".
5
)
Полная энергия квантового осциллятора
определена, т. е.
,
где
-
потенциальная,
- кинетическая энергии, но из соотношения
неопределенностей следует, что вели -
чины
и
-
не определены. ( " Принцип допол -
нительности
").
6)
Становится понятным предположение
Планка для излучательной способности
абсолютно черного тела (см. Лекция 6).
Энергия излучения должна быть кратной
,
т. е.
.
Однако, кроме данного, из полученного
выражения следует и другой вывод о
существовании
.