Лекция 10. Применение уравнения Шредингера

для анализа состояний квантовых систем

10.1. Микрочастица в одномерной "потенциальной яме"

Примером движения электрона в "потенциальной яме" является движение свободных (коллективизированных) электронов внутри металла. В классической электродинамике (см. "Основы электродинамики". Лекция 8) считалось, что вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, а внутри – отрицательна и численно равна работе выхода ( ). Иными словами, движение электронов ограничено потенциальным барьером прямоугольной формы с плоским дном.

Д ано: микрочастица (электрон) находится в "потенциальной яме" глубиной - и шириной - , т. е. в силовом поле :

при 0 < < ,

при 0 < и > .

Найти: вид волновой функции и собственные значения энер –

гии.

Поскольку силовое поле не за –

висит от времени, применим амплитудное уравнение Шредингера

,

тогда в интервале 0 < < , т. е. в "потенциальной яме" функция , являющаяся решением данного уравнения , а вне ямы: .

Используем граничные условия. Поскольку функция должна удовлетворять условию непрерывности, т. е. микрочастица не может находиться вне ямы (в этом случае вероятность равна нулю), то

В области 0 < x < , т. е. в яме: и амплитудное уравнение имеет вид

где обозначено .

Решением данного дифференциального уравнения будут функции: или .

Удобнее выбрать и использовать второй вид решения (через sin), тогда из граничных условий:

следует, что .

Здесь , т. е. , но . Это возможно, если  = 0.

Из аналогично . Так как функция непрерывна, то  = 0 и , причем , тогда и , где = 1,2 3,4… - главное квантовое число. Отметим, что при = 0 , что физически невозможно, так как микрочастица нигде не находится (вероятность равна нулю).

Сравнивая полученные результаты

или .

Данное соотношение - это совокупность собственных значений энергии, при которых решения амплитудного уравнения Шредингера будут иметь физический смысл.

Анализ:

1) Микрочастица (электрон) в "потенциальной яме" обладает дискретными значениями энергии, зависящими от величины главного квантового числа ( ), массы частицы ( ) и размера "ямы" – ( ). Здесь - собственные значения энергии.

2) Значение - при = 1 - называется основным, остальные - возбужденными. Так как = 1, 2, 3, 4, … , то для микрочастицы в потенциальной яме не равна нулю. Это же следует из волновой природы микрочастицы и соотношения неопределенностей:

. При и с учетом

.

Данное выражение с точностью до ² совпадает с полученным (см. выше).

3) Из решения дифференциального уравнения следует схема энергетических уровней электрона в "потенциальной яме" (см. рисунок) .

4 ) Вычислим "расстояние" между соседни-

ми уровнями, т. е. . Тогда

.

Частные случаи:

а) Если = 10^-26 кг и  10^-1 м ( модель молекул идеального газа ), то расчет дает [эВ]. Из этого следует, что энергетические уровни молекулы (атома) идеального газа расположены "густо", квантование энергии атома существует, но не сказывается и спектр энергий воспринимается как сплошной.

б) Если = 10^-30 кг  10^-1 м (модель "свободных электронов"), то [эВ], т. е. существенной разницы с предыдущим примером нет.

в) Если = 10^-30 кг  10^-10 м ( - модель Томпсона), то [эВ] – дискретность уровней энергии электрона в атоме становится заметной.

5) Найдем вид функции . Так как , где - главное квантовое число, то - собственная функция и

. Используем условие нормировки

.

После подстановки

или .

Отсюда , тогда

, где = 1, 2, 3, 4 . . .