
Лекция 3. Дифракция света (продолжение)
3.1. Дифракционная решетка
Простейшая дифракционная решетка
(одномерная) представляет собой систему
из большого числа (N)
одинаковых
по ширине и параллельных друг другу
щелей, лежащих в одной плоскости и
разделенных равными по ширине непрозрачными
промежутками. Обозначим ширину одной
щели через
,
а величину промежутка - b,
тогда d
=
+ b
-
называется
периодом (постоянной) дифракционной
решетки.
Д
ано:
на дифракцион -
ную решетку (ДР) падает плоская монохромати -
ческая волна и плоскость щелей совпадает с фрон-
том падающей волны.
Найти: Арез (Iрез) в лю -
бой точке (или картину) на экране (Э).
При освещении ДР монохроматическим светом = const дифракционная картина на экране будет значительно сложнее, чем в случае одной щели, т.к. свет от разных щелей интерферирует дополнительно. Как и в предыдущем случае (одна щель) Арез (Iрез) можно вычислить, рассчитав соответствующий интеграл, что достаточно сложно.
Воспользуемся
методом зон. В данных условиях колебания
в соответствующих точках всех щелей
происходят в одной фазе, т.к. они
расположены на одной волновой поверхности.
Кроме того, при малых m:
Am
Ai
и Арез
=
,
где N
- число
щелей, а Аi
- амплитуда
колебаний точки в i
- ой щели,
причем ее часть, определяемая углом
(линза собирает соответствующие лучи).
Поэтому Арез
будет определяться только сдвигом фаз
,
зависящим от
и .
Соответствующие точки двух соседних
щелей имеют
= d
sin
и их можно
представить как два когерентных
источника. Тогда
или
Окончательно d sin = n (max), где n = 0,1,2, . . . .
Анализ.
а) Основное назначение ДР - раскладывать белый свет по длинам волн. По способу исполнения различают: плоскую или вогнутую ДР. По способу наблюдения: на отражение или на просвет.
б) Картина на экране симметрична, т.к. + = -. В центре n = 0 – главный максимум, справа (+) и слева (-) от него максимумы: n = 1 – первого, n = 2 – второго и т.д. порядков.
в)
d
sin
=
n
(max) или
sin
(max) =
Полученные
значения синусов углов соответствуют
главным максимумам интенсивности .
Интенсивность света в них
Это выражение получается из расчета интеграла, как и для одной щели (без доказательства).
г) Главные минимумы соответствуют таким углам , для которых A (I) = 0, т.е. свет от разных частей одной только щели в результате интерференции "гасится". Условие главных минимумов, как и для щели, есть
sin
=
n
,
n
= 1, 2, 3, ….
д
)
Кроме главных максимумов на экране
наблюдается большое число побочных
максимумов, разделенных дополнительными
минимумами
Тогда
минимуму
слева
соответствует sinmin
=
=
, справа -
sinmin
=
.
где n
- число. При-
нимает все значе -
ния, кроме крат -
ных числу щелей.
е) Зависимость интенсивности I от sin для ДР можно представить на рисунке.
Т
ак
как Арез(ДР)
= NAi,
где Аi
- результирую-
щая амплитуда коле-
баний от одной щели, а I A2 , то при воз-
растании числа щелей интенсивность долж -
на возрастать, но
уменьшается коли -
чество максимумов.
Таким образом, в мо-
нохроматическом све-
те картина на экране: Nd - узких, ярких максимумов, разделенных широкими темными промежутками.
ж
)
Если d1
= d2
= d
= const, n1
=
n2
= const, но
1
>
2,
d1
sin1
= n1
1
то из
следует, что sin1
должен
быть d2
sin2
=
n2
2
больше,
чем sin2
и лучи с
большим значением
отклоняются
дифракционной решеткой сильнее. Здесь
мы впервые сталкиваемся с понятием
спектра – это разложение света по длинам
волн. Таким образом, при
const
на экране
наблюдается "неокрашенный"
центральный максимум и по обе стороны
от него "окрашенные" максимумы
(дифракционные спектры), в которых
наблюдается переход цвета: фиолетовый
красный (Ф
<
КР).
з)
Дифракционная решетка характеризуется
линейной и угловой дисперсией, а также
разрешающей способностью. Первая и
вторая характеристики - это угловое и
линейное расстояние между двумя
спектральными линиями, отличающимися
по длине волны на 1 ангстрем (
),
т.е. Дугл
=
и Длин
=
Разрешающая способность (R)
– это отношение длины волны света ()
к наименьшему интервалу длины волн
(),
который может разделить дифракционная
решетка, т.е.
где n
- порядок
спектра, N
- число
щелей.