2.3. Дифракция Френеля

Различают два случая дифракции света: дифракцию Френеля (или дифракцию в сходящихся лучах) и дифракцию Фраунгофера (дифракцию в параллельных лучах). В первом случае на препятствие падает сферическая волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся на конечном расстоянии от препятствия. На экране наблюдается "дифракционное изображение" препятствия. При дифракции Фраунгофера на препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина ("дифракционное изображение" удаленного источника света) наблюдается на экране, находящемся в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света.

В простейших случаях (дифракция Френеля) вид дифракционной картины можно установить, используя метод зон.

Рассмотрим дифракцию Френеля от круглого отверстия.

Дано:

с ферическая

волна падает

на преграду

с отверстием,

диаметр кото -

го равен 2r₀.

Пусть

r₀ << a и

r₀ << b.

Найти:

А_рез (I_рез) в разных точках экрана.

Если r₀ = r_m = то

ч исло зон Френеля (m), которые уло -

жатся в отверстие, есть

Так как число зон ограничено, то и в выражении для А_рез будет ограниченное число слагаемых, т.е.

А_рез = А₁ – А₂ + А₃ - . . . . . .  А_m .

Полученное выражение запишем в виде:

Например, при m = 5:

При m = 6:

Как было установлено ранее, соответствующие выражения в скобках равны нулю, кроме того, при малых m, амплитуды соседних зон близки по величине. Поэтому С учетом этого

Анализ.

1) В этом выражении знак "+" – соответствует нечетному количеству зон, знак "-" - четному.

2) Из А_m  А₁ (m - мало) следует, что при m - нечетном А_рез = А₁, а при m - четном А_рез = 0, т.е. интерференционная картина на экране будет представлять собой чередование светлых и темных полос (колец).

3) Световые лучи распространяются симметрично относительно прямой SP (рис.), поэтому дифракционная картина будет симметрична относительно центра.

4) При r₀   A_рез = А₁ –А₂ +А₃ – . . . . . . и А_рез = (см. предыдущий случай).

5) В центре экрана (т. О) I_max при m - нечетном, I_min - m (четное), соответственно рис. а, б.

6) Если в отверстие укладывается только одна зона, то на экране наблюдается размытое светлое пятно.

7) Если m - велико, то чередование светлых и темных полос (колец) будет наблюдаться на границе геометрической тени. В центре картины I_max = const.

8) При   const (цвет белый) полосы (кольца) приобретут цветную окраску, так как m 

Подобным образом можно рассмотреть дифракцию Френеля от непрозрачного круглого диска или щели (частный случай отверстия).

2.4. Дифракция Фраунгофера на щели

Д ано: на препятствие со щелью длиной падает плоская волна. За щелью в фокальной плоскости уста -

новлена линза. В другой ее фокальной плоскости рас –

положен экран.

Найти: картину на экране или I_рез в разных точках.

Расчет можно произвести двумя способами: из мате -

матического представления принципа Гюйгенса – Фре -

неля, вычислив соответству-

щий интеграл или методом зон.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны, параллельные краям щели и шириной dx. Вторичные волны, посылаемые такими зонами под углом  (или -) соберутся, соответственно, в т. Р и Р ^|. Каждая зона возбудит колебание d, которое можно изобразить вектором . Линза со -

бирает в данном случае плоские, а не сферические вторичные волны, поэтому (множителя нет, K() = const). Амплитуда dA_i колебания d, возбуждаемого зоной шириной dx может быть представлена в виде: dA_i = Сdx, т.е. амплитуда будет определяться только шириной (площадью) dx. Тогда

где С – коэффициент пропорциональности, А₀ – сумма амплитуд колебаний, посылаемых всеми зонами.

Из полученного соотношения и следовательно

или

На участке dx:  = x sin, причем, если x = 0, то фаза колебаний  t, при любом другом x в интервале dx фаза т.е. отстает на

Т аким образом, колебание,

которое создается всей щелью в

т. Р, есть

. I  A²

После перехода к амплитудам (интенсивностям) получим их распределение в разных точках экрана

.

Здесь А_ (I_) - амплитуда (интенсивность) волны, распространяющейся под углом , А₀ (I₀) - тоже при  = 0.

Анализ.

а) При sin( I_ = 0 (min), где Здесь n – число (n = 1, 2, 3, . . . .). Обратим внимание n начинается с 1. После преобразования

a sin = n (min) или  = n (min).

б) При I_ = max, где .

Здесь n = 0, 1, 2, 3, . . . . Окончательно

(max).

в) Интерференционная картина на экране симметрична относительно т. О (центра), так как I_+ = I _- = const_. Это же следует и из где все сомножители в четной степени.

г) Из полученных соотношений следует, что зависимость I_ = = I (sin) - представляет собой центральный максимум с n = 0 - называемый нулевого порядка, а далее максимумы - первого (n = 1), второго (n = 2) и т.д. порядков. Нулевого минимума нет, поэтому в

с оответствующем условии

(п. а) число n - начинается с 1.

д) Условия max и min в произвольной точке на экране получаются и из метода зон (2 способ). В этом случае результат интерференции зависит от того, сколько зон Френеля укладывается в щели. При  = =  n, если число зон четно (2, 4, 6, 8 . . . ), то соседние "гасят" друг друга и  =  n - условие минимума.

Если и число зон нечетно (1, 3, 5, 7 . . .), то это условие максимума.

Таким образом,

е ) Из соотношения sin  =  n (min) с учетом получаем Если  > 0, то – дробь, а должно быть целым числом. В этом случае минимума интенсивности не наблюдается (она спадает от центра к краям).

ж ) Пусть имеем две щели разной ширины ( ₁ > ₂) и  = const, тогда при n₁ = n₂ = n

или ₁sin₁ = ₂sin₂. Отсюда, для широкой щели центральный максимум узкий и яркий. Он пред -

ставляет собой изображение источника света. Интерференционная

картина для данного случая пред -

ставлена на рисунке.

з) В точке n = +1 (первый минимум): sin =  - для любой по размеру щели, тогда  = arc sin и угловая ширина максимума  = = 2 arc sin .

и) Из полученных результатов следует, что при  = const (монохроматический свет) интерференционная картина на экране будет представлять собой чередование светлых и темных полос, ширина которых зависит от соотношения / .

к) При освещении щели белым светом (  const) по краям центрального максимума появляется радужная окраска. Полного "гашения" света не происходит ни в одной точке экрана, так как max и min света частично перекрываются.

При практическом использовании оптических приборов оправа объектива играет роль отверстия для падающего на нее света. Если направление падающего света нормально к плоскости объектива, то дифракционная картина в фокальной плоскости линзы имеет вид центрального светлого пятна, окруженного системой чередующегося светлых и темных колец, интенсивность которых мала и продолжает уменьшаться при увеличении порядка максимума. Если свет падает на объектив под небольшим углом, то характер дифракционной картины не изменяется, но ее центр смещается в побочный фокус линзы.

28