5,10 Операторный метод анализа переходных процессов.

Идея этого метода заключается в том, что из области функций дей­ствительного переменного решение переносится в область функций ком­плексного переменного

p = c+jw, где операции принимают более про­стой вид, за­тем полученный решением алгебраи­ческих уравнений результат «интер­претируется», т. е. производится об­ратный переход в область функций действительного переменного.

Пусть f(t)—функция действи­тельного переменного t, заданная в области t>0 и равная нулю при t<0, возрастает не быстрее показа­тельной функции, т. е. |f(t)|<Мe^c0t при t>0; здесь М и с₀ — постоянные (положительные и дей­ствительные) ; t — переменное (вре­мя). Постоянная с0 называется показателем роста функции f(t). Говорят, что функция имеет ограни­ченный рост, если показатель роста конечен.

Из курса математического ана­лиза известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интегралсходится абсолютно и является ана­литической функцией комплексного переменного р = с + jw в полуплос­кости Re p = c>c₀.

Интегральное уравнение такого вида представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f (t) называется оригиналом, а функция F(p) — изображением по Лапласу. Следовательно, ориги­нал и изображение представляют собой пару функций действительного переменного t и комплексного переменного р, связанных преобразованием Лапласа.

Другая условная форма за­писи прямого преобразования Лап­ласа, а именно:

ЗАКОНЫ ОМА И КИРГОФА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ

Для схемы с источником э. д. с.

По второму закону Кирхгофа для t> 0 имеем:

;

Будем рассматривать e(t), Uc(0) и i(t) как функции-оригиналы, име­ющие изображения Е(р), Uс(0)/р и I(р).

На основании свойств линейно­сти преобразования Лапласа и тео­рем дифференцирования и интегри­рования исходному уравнению (14-24) соответствует следующее уравнение для изображений:

второй закона Киргоффа в операторной форме

(1)

Для схемы с источником тока уравнение записывается по первому закону Кирхгофа (при t> >0, т. е. после подключения сопро­тивления r):

Полагая i(t)=I(p) и u(t)=U(p), находим:

После преобразований получает­ся изображение искомого напря­жения

первый закона Киргоффа в операторной форме

При нулевых начальных услови­ях, т. е. при включении источников в пассивные цепи, выражения (1) и (2) упрощаются, а именно:

здесь Z(p) и Y(p) представляют собой сопротивление и проводи­мость соответствующих цепей при комплексной частоте р=с+jw. Они называются обоб­щенными или операторными сопротивлением и проводимо­стью.