Из простых геометрических соображений очевидно:

Ом; 53,13 53 ,

г де Z_К - полное сопротивление цепи; - разность фаз между током и напряжением, следовательно Z_К = 5e ^{j53 } Ом.

Так как >0 (+53),то, как и все положительные углы, он откладывается (рис б) от оси вещественных чисел против часовой стрелки.

Задача 13.

Заданы параметры элементов электрической цепи (рис.) и входное напряжение U_ВХ=141sin 314t В.

Определить напряжение на катушке и построить векторную диаграмму тока и напряжений.

Решение:

Расчет цепи проведем, используя комплексный метод анализа цепей синусоидального тока.

Представим все электрические величины ( , Z_C , Z_L , Z_R) в комплексной форме (рис. 1.2.25) и определим комплексный ток цепи

=100e ^j0 B,

Z_C = - j X_C ; Z_L = j X_L ; Z_R = R_K,

где - действующее значение входного напряжения U_ВХ, В.

Полное комплексное сопротивление цепи с последовательно соединенными элементами Z_ВХ равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов

Z_ВХ = Z_C + Z_L + Z_R = - j X_C + j X_L + R_k =

= R_k +j (X_L - X_C ) = 30 +j (60 - 20) = 30+j40 Ом.

В показательной форме записи

Z_ВХ = Z e ^j = 50e ^{j 53 } Ом ;

(Z Ом;

53,13 53 ).

По закону Ома определим величину комплексного тока цепи

= / Z_ВХ =100e ^j0/(5e ^{j 53 }) = (100 /5)е ^{j (0 –53 )} = 2e ^{- j 53 } A .

Комплексное напряжение на катушке также можно определить по закону Ома, но предварительно следует определить комплексное сопротивление катушки Z_k

Z_k= R_k +j X_L =30+j 60 Ом,

или в показательной форме записи

Z_k= Z_k e ^jk = 67e ^{j 6 3,4 } Ом

(Z_k Ом; ) .

Тогда = Z_k = 67e ^{j 6 3,4} 2e ^{- j 53 }= (672)e ^{j (6 3,4 - 53 )} =134 e ^{j 10,4 } В.

Соответственно мгновенное значение напряжения на катушке

u_k= 134  sin 314t = 189 sin 314t В .

Векторные диаграммы напряжений и тока в неразветвленной цепи синусоидального тока (рис.б) строят на комплексной плоскости в соответствии с уравнением, составленным по второму закону Кирхгофа и с учетом фазовых сдвигов напряжений , , и тока во времени

Здесь

= Z_R = R_k = 302e ^{- j 53 }= 60e ^{- j 53 } В,

= Z_C =(- j X_C)  = (- j202e ^{- j 53 }) = 20е ^{- j90} 2e ^{- j 53 }=40 е ^{– j143} B ,

= Z_L = (j X_L ) = ( j 60)  2e ^{- j 53 }= 60 е^{- j 90}2e ^{- j 53 } =120e ^{j 37} B.

Задача 14.

В неразветвленной электрической цепи, содержащей

R=40 Ом, Х_L=7 Ом и X_C=10 Ом приложенное напряжение U=220 В при частоте f=50 Гц.

Определить частоту f_о, при которой возникает резонанс напряжений, ток I_o , а также полную мощность S_o цепи при резонансе.

Решение:

В цепи (рис.) с последовательно соединенными R, L, C - элементами возможен режим, когда реактивное сопротивление X=0 и  = 0 , что имеет место при равенстве абсолютных значений и индуктивного и емкостного сопротивлений, т. е. при . При этом выполняется условие и  =0, причем действующие значения этих напряжений могут превышать напряжение U на зажимах цепи.

Режим работы электрической цепи при последовательном соединении активного, индуктивного и емкостного элементов, когда угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю, называется резонансом напряжений.

Следовательно, при резонансе напряжений X = X_L - X_C =0, или X_L =X_C .

Из равенства реактивных сопротивлений L=1/C следует, что режим резонанса напряжений в электрической цепи возникает при частоте

,

называемой резонансной, которая определяет частоту незатухающих колебаний данной цепи и характеризует установление в ней наибольшего тока I_mах , так как при этом Z min.