4.3. Решение задачи синтеза.
Решение задачи
синтеза основано на формировании внутри
регулятора упрежденного вектора
состояния
.
модифицированного объекта управления.
Формирование вектора
осуществляется
с помощью модели объекта, входящей в
структуру оптимального регулятора.
Таким образом, оптимальный закон управления должен иметь вид
.
(4.10)
или в раскрытом виде
.
(4.11)
Такой подход
позволяет вычислить компоненты
вектора
обратных связей
регулятора
для объекта без учета запаздывания.
Задача определения оптимального
управляющего сигнала распадается на
две подзадачи: 1). Задача вычисления
вектора
для
системы без запаздывания. 2). Задача
формирования упрежденного сигнала
.
4.4. Вычисление вектора Кос.
Вычисление вектора осуществляется через элементы матицы Риккати
,
(4.12)
где матрица Р является единственным положительно определенным решением нелинейного матричного уравнения Риккати
.
(4.13)
Раскрывая уравнение Риккати, получим
Для упрощения
записей введем обозначения
,
.
Произведя
перемножения матриц, получим
Это матричное уравнение распадается на систему алгебраических уравнений вида
;
;
;
.
Из четвертого
уравнения вычисляем
;
.
(4.14)
Из первого уравнения
путем решения квадратного уравнения
находим
.
(4.15)
Из второго уравнения
вычисляем
.
(4.16)
Раскрыв выражения
для
(подставляя
в него
)
получим
;
.
(4.17)
Знание матрицы Риккати P позволяет наряду с получением коэффициентов вектора , также вычислить численное значение минимальной величины интегрального квадратичного критерия качества
.
(4.18)
4.5. Нахождение выражения для X(t+т).
Известно, что для объекта без запаздывания уравнение описывающее движение компонент его вектора состояния имеет вид:
.
(4.19)
Первая часть
выражения является свободной составляющей,
которая зависит от динамических свойств
объекта управления (матрицы A) и от
вектора начальных условий
,
который характеризует величину начального
отклонения системы от положения
равновесия. Интеграл является вынужденной
составляющей, определяемой как
динамическими свойствами объекта
(матрицы A и B), так и видом управляющего
сигнала U(S). При учете запаздывания в
канале управления в уравнении (4.19) вместо
сигнала U(S) должен использоваться
запаздывающий сигнал
.
Тогда уравнение (4.19) примет вид
.
(4.20)
Из выражения (4.20) получим упрежденный сигнал вектора состояния
Выделим
,
и разобьем интеграл на две части
Вынесем за скобки
Заменив выражение в квадратных скобках на X(t) получим формулу для упрежденного вектора состояния
.
(4.21)
Сделав замену переменной в выражении (4.21)
,
(4.22)
окончательно получим
.
(4.23)
4.6. Получение оптимального закона управления.
С учетом полученного выражения (4.23) оптимальный закон управления будет иметь вид
.
(4.24)
Как видно, закон управления наряду с пропорциональной составляющей содержит и функциональную составляющую. Очевидно, что для формирования оптимального закона управления необходимо знание структуры и параметров объекта управления, т.е. его математической модели. Из этого следует вывод, что оптимальный регулятор в своей структуре должен содержать модель объекта управления, с помощью которой будет реализовываться функциональная составляющая алгоритма. Для получения оптимального выражения в раскрытом виде найдем матричные экспоненты, входящие выражение (4.24), используя теорему Сильвестра
,
(4.25)
где
-
собственные значения матрицы
,
которые находятся из характеристического
уравнения
.
Или
.
(4.26)
Откуда
.
Опуская промежуточные выкладки из
формулы (4.25) найдем
.
(4.27)
Матричная экспонента
выглядит
аналогично (при замене всех
на
).
После проделанных преобразования
оптимальный закон управления примет
вид
(4.28)
Перемножив матрицы, получим
,
(4.29)
где коэффициенты
усиления по пропорциональной
,
интегральной
составляющим
и коэффициенты
и
равны
,
(4.30)
,
(4.31)
;
.
(4.32)
Полученный оптимальный закон управления содержит пропорциональную и интегральную составляющие (т.е ПИ- регулятор) и две функциональныe составляющие, соответствующие апериодическому и интегрирующему звеньям модифицированного объекта управления с запаздыванием.