В нашем случае

следовательно,

Неявным образом могут быть заданы функции двух и более переменных.

Если неявная функция двух переменных определяется уравнением

то частные производные и этой функции можно найти по следующим формулам

(8.20)

Пример. Найти полный дифференциал функции , заданной неявно уравнением

Решение. Полный дифференциал функции вычисляется по формуле

Найдем и по формулам (8.20). Для этого перенесем все члены уравнения в левую часть и обозначим Так как

то

Теперь

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции называемые частными производными первого порядка, в свою очередь, будут некоторыми функциями переменных и . Если последние сами обладают частными производными, то эти частные производные называются частными производными второго порядка для функции . При этом используют обозначения:

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка. Вообще, если некоторая функция допускает -кратное частное дифференцирование по своим аргументам в каком-либо определенном порядке, то получается частная производная -го порядка. Например, обозначает результат -кратного последовательного дифференцирования функции по аргументу , то есть частную производную -го порядка от по .

Частная производная, полученная дифференцированием по нескольким различным аргументам, называется смешанной частной производной.

Всего указанным образом можно получить частных производных порядка от функции . В действительности, число различных производных какого-либо определенного порядка оказывается значительно меньше. Справедлива следующая важная теорема о смешанных частных производных.

Теорема. Если функция обладает в некоторой точке непрерывными частными производными и , то эти производные равны одна другой в рассматриваемой точке:

Аналогичная теорема о независимости смешанной частной производной от порядка дифференцирования справедлива для частных производных любого порядка. Поэтому обозначение частной производной для таких функций указывает только число дифференцирований по каждой переменной, а порядок, в котором производятся эти дифференцирования, на результат не влияет. Так, через обозначается частная производная порядка для функции , причем по выполняется дифференцирование раз, а по раз (здесь, конечно, ).

Сказанное справедливо и для функции произвольного числа аргументов. Например, для функции трех аргументов через обозначается частная производная пятого порядка, получаемая двукратным дифференцированием по , двукратным - по и однократным – по .