Дифференцирование сложной функции одной переменной. Полная производная

Определение. Функция нескольких переменных называется сложной, если сами аргументы - функции одной или нескольких переменных.

Пусть, например, - функция от переменных и , где

- функции аргумента . Тогда сложная функция от может быть записана так:

и продифференцирована как функция одной переменной.

Если функция дифференцируемая в точке , а функции и дифференцируемы при соответствующем значении , то имеет место формула

(8.14)

Пример. Найти если где а

Решение. Находим

Подставляя найденные выражения в (8.14), получаем

Аналогично рассмотренному выше решается вопрос о производной когда функция задается как дифференцируемая функция любого числа переменных, каждая из которых, в свою очередь, есть дифференцируемая функция переменной .

Так, если где и то

(8.15)

Рассмотрим случай, когда независимая переменная явно входит в выражение функции. Пусть

где по-прежнему

Распространяя формулу (8.15) на случай функции четырех аргументов запишем

или

(8.16)

Производную в формуле (8.16) называют полной производной, в отличие от частной производной

Пример. Найти частную производную , и полную производную функции где

Решение. Найдем сначала частную производную считая и постоянными:

Так как функция зависит от как непосредственно, так и через то для вычисления полной производной воспользуемся формулой (8.16).

Находим

Подставляя в формулу (8.16), получаем

или

Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть и

то есть являются функциями двух переменных и

Тогда функция

будет сложной функцией от и .

Если одной из переменных, скажем, , придается какое-либо постоянное значение, то становится функцией (сложной) только переменной , и ее производная по этой переменной (в данном случае, частная производная) вычисляется по формуле (8.14), но с заменой всех простых производных частными

(8.17)

Так же вычисляется частная производная

(8.18)

С помощью аналогичных рассуждений легко получить формулы для сложных функций произвольного числа переменных.

Дифференциал функции одной переменной обладает свойством инвариантности формы: она остается одной и той же вне зависимости от того, будет ли аргумент независимой переменной или некоторой дифференцируемой функцией другой переменной.

Это свойство инвариантности формы дифференциала, играющее важную роль в ряде вопросов математического анализа, справедливо и для функций нескольких переменных.

Дифференцирование неявных функций

Определение. Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением вида

связывающим и , но не разрешенным относительно .

Однако не всякое уравнение вида определяет неявную функцию. Например, уравнение никакой функции не определяет, так как для любых значений и .

Возникает задача о нахождении условий, накладываемых на функцию двух переменных при которых уравнение определяет неявную функцию .

Достаточные условия существования, единственности и дифференцируемости неявной функции, заданной уравнением содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в окрестности точки и имеет там непрерывные частные производные и , причем , а

Тогда существует некоторая окрестность точки , в которой:

1. уравнение определяет единственную непрерывную функцию ;

2. при эта функция принимает значение

3. функция непрерывна и имеет непрерывную производную.

Геометрически это означает, что существует окрестность точки в которой кривая, заданная уравнением представляет собой график непрерывной и непрерывно-дифференцируемой функции проходящий через точку .

Производную при этом можно найти по формуле

(8.19)

Пример. Функция задана уравнением Найти

Решение. В условиях задачи уже предполагается, что данное уравнение определяет неявную дифференцируемую функцию . (Студент самостоятельно может проверить выполнение условий приведенной выше теоремы, например в окрестности точки ). Остается только воспользоваться формулой (8.19).