Дослідження умов рівноваги механічної системи.
Оскільки в роботі формула для прискорення отримана без врахування істинного напрямку руху, який визначається деяким співвідношенням між масами, радіусами, кутами, відповімо на питання – якою повинна бути маса тіла 1, щоб утримувати в рівновазі всю систему з заданими масогабаритними характеристиками. Приймемо для спрощення, що коефіцієнти тертя ковзання і кочення дорівнюють нулю:
(
).
2.1. Загальне рівняння статики.
Для
дослідження умов рівноваги за допомогою
загального рівняння статики прикладемо
до тіл матеріальної системи активні
сили
та момент сили
.
(рис. 3) та надамо матеріальній системі
можливих переміщень
та
.
Згідно загального рівняння статики для матеріальної системи що знаходиться в рівновазі, на яку накладені ідеальні, стаціонарні в’язі, сума робіт активних сил на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:
Отже
Враховуючи співвідношення між можливими переміщеннями
=
вираз (2.2) прийме вигляд:
Оскільки
,
то скорочуючи на “
”
та “
”
, отримаємо:
Якщо маса тіла 1 буде більша, ніж обчислена за (2.5), то тіло 1 буде рухатись донизу, якщо – менше, то до-гори.
2.2. Умови рівноваги кожного тіла окремо.
Прикладемо до кожного тіла окремо (рис. 4) активні сили і сили реакції в’язей (як і раніше, вважаємо, що ( ).
Складемо рівняння рівноваги :
тіла 1 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху
тіла 2 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно вісі обертання:
тіла 3 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно миттєвого центру швидкостей (точка
тіла 4 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху:
Виразивши з (2.6),(2.7), та (2.9) відповідно:
(2.10)
підставимо (2.10) в (2.8), отримаємо:
що тотожно співпадає з (2.5).
2.3.
Рівновага як окремий випадок руху при
.
Прирівняємо нулю вираз для з (1.23).
Оскільки знаменник виразу (1.23) нулю не дорівнює, прирівняємо до нуля чисельник. Пам’ятаючи, що задача про умови рівноваги вирішувалась в припущенні, що , отримаємо:
що тотожно виразу (2.12) та (2.5).
3. Принцип д’Аламбера-Лагранжа.
Принцип Д’Аламбера-Лагранжа, чи загальне рівняння динаміки стверджує, що при русі механічної системи, на яку накладаються ідеальні стаціонарні в’язи сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:
В виразі
(3.1)
- активні сили та моменти, що прикладені
до точок матеріальної системи ( до них
також відносяться неідеальні складові
реакціх в’язей, наприклад сили тертя).
В цьому виразі
- сили інерції, які за Д’Аламбером
обраховуються як
для
поступального руху (
- маса
тіла, що рухається поступально,
- поступальне прискорення), та
;
для
обертального руху (
– осьовий момент
інерції,
- кутове прискорення). Акцентуємо увагу
на те, що сили інерції спрямовані (про
це свідчить знак “-“
мінус)
проти відповідного прискорення.
Покажемо
на Рис. 5 активні сили
та
момент
неідеальні
в’язі
та
,
а також сили інерції поступального
та обертального
руху (напрямки лінійних прискорень
;
співпадають з напрямками елементарних
переміщень
,
а напрямки кутових прискорень
співпадають
з напрямком елементарних кутів повороту
,
див. Рис. 2.
Надамо
матеріальній системі можливих переміщень
та
див. (Рис. 3), і запишемо суму робіт у
відповідності до (3.1)
З
урахуванням
,
Співвідношень між кутовими прискореннями:
та співвідношень між можливими переміщеннями:
=
вираз (3.2) прийме вигляд:
Скорочуючи
(3.5) на
складові
з
в
одну частину рівняння, а складові без
- в іншу, отримаємо для
:
Вираз (3.6) є тотожнім з виразом (1.23)
При
необхідності знайти інший кінематичний
параметр, наприклад
,
необхідно в вираз (3.2) підставити замість
співвідношень (3.3) аналогічні вирази
кінематичних параметрів через
;
(3.7)