Средние характеристики ряда динамики

Наименование показателя	Методика расчета
А	1
2. Средний абсолютный прирост ( )	;
3. Средний темп роста ( ), %	;
4. Средний темп прироста ( ), %

В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики . В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.

Интервальный ряд абсолютных величин с равными периодами (интервалами времени):

(6.1)

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а сумма товарооборота четырех кварталов дает объем товарооборота за год и т.д.

Средний уровень интервального неполного ряда рассчитывается как средняя взвешенная величина:

(6.2)

где t_i - продолжительность периода, в течение которого уровень не изменялся.

Моментный ряд с равными интервалами между датами:

(6.3)

Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть персонала фирмы N, составляющая списочную численность на 1.01.2003г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть повторный счет.

Моментный ряд с неравными интервалами между датами:

(6.4)

где - среднее значение рядом стоящих уровней ряда;

t_i – интервал между датами.

Пример

Имеются следующие данные о товарных запасах розничного торгового предприятия, тыс. руб. На 1.01. 1997 – 61,1; на 1.05 1997 – 57,5; на 1.08 1997 – 51,3; на 1.01 1998 – 74,7. Вычислить среднегодовой товарный запас розничного торгового предприятия.

Решение:

Средний уровень для моментного ряда динамики с неравными интервалами исчисляется по формуле:

= (61,5+57,5)/2=59,3;

= (57,2+51,3)/2=54,4;

= (51,3+74,4)/2=63,0

Число месяцев между датами соответственно равно 4, 3, 5. Следовательно, средний запас торгового предприятия равен:

Для проведения глубокого анализа динамики социально-экономических явлений следует параллельно использовать показатели скорости и интенсивности изменения уровней. Анализ, основанный на использовании какого-либо одного из этих показателей, неизбежно будет иметь односторонний характер.

6.4. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые можно условно разделить на три группы:

1. Факторы, формирующие тенденцию ряда (T) . Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Тенденция (тенденция развития, тренд, влияние эволюционного характера) - это изменения, определяющие некое общее направление развития, то есть многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания;

2. Факторы, формирующие циклические колебания ряда (S), т.е. изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, так как экономическая деятельность некоторых отраслей экономики зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка.

3. Случайные факторы (E). Так, некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой случайной компоненты

При различных сочетаниях в изучаемом явлении или процессе этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать различные формы. Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Таким образом, представим ряд: y = f ( T, S, E).

В зависимости от взаимосвязи компонент ряда между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда динамики.

Аддитивная модель ряда динамики y = T+S+E, характеризуется главным образом тем, что характер циклических и сезонных колебаний (флюктуаций) остается постоянной.

Мультипликативная модель ряда динамики y = T·S·E характеризуется тем, что в этой модели характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.

Выявление общей тенденции изменения динамического ряда обеспечивается при помощи особых приемов, которые можно разбить на два класса:

1. Механическое выравнивание – представляет выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней. Наиболее распространенные способы механического выравнивания:

• укрупнение интервалов и расчет для них средних показателей. Это наиболее простой способ выявления общей тенденции. При этом происходит укрупнение интервалов и определение итога уровня для этих интервалов с помощью исчисление средних. Расчет переменной средней осуществляется по формулам средней арифметической. Например, если укрупненный интервал образован объединением трех периодов, средние для укрупненных интервалов определяются следующим образом:

; и т.д.

(6.5)

где у₁, у₂, ….у₆ – уровни исходного ряда динамики.

• сглаживание уровней способом скользящей средней. Скользящая средняя – это подвижная динамическая средняя, которая исчисляется по ряду при последовательном передвижении на один интервал. Если в ряду динамики имеются периодические колебания, то период скользящей средней должен совпадать с периодом колебания или быть кратным ему. Период скользящей может быть четным и нечетным, практически удобнее использовать нечетный период, так как скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения.

Скользящая средняя:

• с продолжительностью периода 3: ;

• с продолжительностью периода 5:

(6.6)

Если период скользящей четный, то выполняют центрирование данных, т.е. определение средней из найденных средних, что необходимо для определения серединного периода.

Недостатки этого способа выравнивания заключаются в следующем: при малом числе наблюдений искажается тенденция развития; при дальнейших расчетах теряются начальные и конечные уровни ряда; тренд полученный в результате механического выравнивания не имеет количественного выражения, т.е. скорость изменения уровней ряда неизвестна.

2. Аналитическое выравнивание – выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Сущность данного способа заключается в нахождении аналитического уравнения, выражающего закономерность изменения явления как функцию времени . Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления.

Чаще всего при выравнивании используют следующие зависимости:

• линейная

(6.7)

Выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

• параболическая

(6.8)

Используется, когда абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные приросты абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции не проявляют.

• экспоненциальные

(6.9)

Применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста), либо устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста).

Оценка параметров (а₀, а₁, а₂, ….) осуществляется разными методами, наиболее распространен метод наименьших квадратов (МНК), который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных:

min ∑(y_i – y_t)²

(6.10)

Для линейной зависимости параметр а₀ обычно интерпретации не имеет, его, как правило, рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда (или как среднее значение показателя); а₁ – параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, можно представить а₁ как постоянный теоретический абсолютный прирост.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности с помощью критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

(6.11)

где k - число параметров функции, описывающей тенденцию;

n - число уровней ряда;

σ²_ост – остаточная дисперсия ( );

;

.

F_факт сравнивается F_теор при ν₁ = k-1; ν₂ = n – k степенях свободы и уровне значимости α (обычно α = 0,05). Если F_факт › F_теор, то уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.