19. Ограничения модели множественной регрессии.

Предположим, что связь между объясняемой переменной и объясняющими переменными линейная, т.е.

.

Пусть выполняются следующие условия:

1. , ;

2. , для любых ;

3. , ,

4. , , т.е. распределение не зависит от распределения любой объясняющей переменной ;

5. ошибки имеют нормальный закон распределения, ;

6. , т.е. ранг матрицы должен быть равен числу оцениваемых параметров , что означает отсутствие линейной зависимости между объясняющими переменными .

Тогда МНК-оценка вектора : имеет наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных и состоятельных оценок.

Условия Гаусса-Маркова 1)-6) называются предпосылками МНК для случая множественной линейной регрессии.

20. Идентификация параметров множественной регрессии мнк.

Возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используется линейная функция. В линейной множественной регрессии параметры при называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Рассмотрим линейную модель множественной регрессии

. (2.1)

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели множественной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных минимальна:

. (2.2)

Как известно из курса математического анализа, для того чтобы найти экстремум функции нескольких переменных, надо вычислить частные производные первого порядка по каждому из параметров и приравнять их к нулю.

Итак. Имеем функцию аргумента:

.

Находим частные производные первого порядка:

После элементарных преобразований приходим к системе линейных нормальных уравнений для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии (2.1):

(2.3)

Для двухфакторной модели данная система будет иметь вид:

21. Интерпретация множественного уравнения регрессии.

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относится исследуемое явление. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.

Прежде всего необходимо рассмотреть коэффициенты регрессии. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного признака на моделируемый.

Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он имеет знак минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь ввиду, что когда рассматривается совокупное влияние факторов, то в силу наличия взаимосвязей между ними характер их влияния может меняться.

С целью расширения возможностей экономического анализа, используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:     (7.11)

где: - среднее значение соответствующего факторного признака; - среднее значение результативного признака; a₁ - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Частный коэффициент детерминации:     (7.12)

где: - парный коэффициент корреляции между результативным и i-ым факторным признаком; - соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:     (7.13)

Частный коэффициент детерминации показывает на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией i-го признака, входящего в множественное уравнение регрессии.

Полная экономическая интерпретация моделей регрессии позволяет выявить резервы развития и повышения деловой активности субъектов экономики.