Деякі властивості

• Якщо  — просте, і ділить , то ділить або . Цю властивість довів Евкліда, і відома вона як лема Евкліда. Її використовують при доведенні основної теореми арифметики.

• Кільце остач є полем тоді і тільки тоді, коли  — просте.

• Характеристика кожного поля — нуль або просте число.

• Якщо  — просте,  — натуральне, то ділиться на (мала теорема Ферма).

• Якщо  — скінченна група з елементів, то містить елемент порядку .

• Якщо  — скінченна група, і  — максимальний ступінь , який ділить , то має підгрупу порядку , яку називають підгрупою Силова, більше того, кількість підгруп Силова дорівнює для деякого цілого (теореми Силова).

• Натуральне є простим тоді і тільки тоді, коли ділиться на (теорема Вільсона).

• Якщо  — натуральне, то існує просте , Таке, що (постулат Бертрана).

• Ряд чисел, зворотних до простих, розходиться. Більш того, при

• Будь-яка арифметична прогресія виду , Де  — цілі взаємно-прості числа, містить нескінченно багато простих чисел (Теорема Діріхле про прості числах в арифметичній прогресії).

• Будь-яке просте число більше 3, можна представити у вигляді , або у вигляді , де  — деяке натуральне число.

• Якщо  — просте, то кратне 24.

• Множина додатніх значень многочлена

при невід'ємних цілих значеннях змінних збігається з множиною простих чисел.^[4][5][6] Даний результат є окремим випадком доведеною Юрієм Матіясевічем діофантності будь-якої ефективно зліченної множини.

Відкриті питання

Досі існує багато відкритих запитань відносно простих чисел, найвідоміші з яких були перераховані Едмундом Ландау на П'ятому Міжнародному математичному конгресі:

1. Проблема Гольдбаха (перша проблема Ландау): довести або спростувати, що кожне парне число, більше двох, може бути представлено у вигляді суми двох простих чисел, а кожне непарне число, більше 5, може бути представлено у вигляді суми трьох простих чисел.

2. Друга проблема Ландау : чи нескінченна множина «простих близнюків» — простих чисел, різниця між якими дорівнює 2?

3. Гіпотеза Лежандра (третя проблема Ландау) чи вірно, що між і завжди знайдеться просте число?

4. Четверта проблема Ландау: чи нескінченна множина простих чисел виду ?

Відкритою проблемою є також існування нескінченної кількості простих чисел у багатьох цілочисельних послідовностях, включаючи числа Фібоначчі, числа Ферма і т. д.

Застосування

Великі прості числа (порядка ) використовують в криптографії з відкритим ключем. Прості числа також використовують в хеш-таблицях і для генерації псевдовипадкових чисел (зокрема, в генераторі псевдовипадкових чисел Вихор Мерсенна).

4.Найбільший спільний дільник(НСД),найменше спільне кратне(НСК)

Найбільший спільний дільник

Найбі́льший спі́льний дільни́к (НСД) двох або більше невід'ємних цілих чисел - це найбільше натуральне число, на яке ці числа ділиться без остачі.

Позначення

Найбільший спільник дільник двох чисел a і b позначається як НСД(a, b), деколи (a, b). В англомовній літературі прийнято вживати позначення gcd(a, b).

Приклад

Число 54 може бути виражене як добуток двох інших цілих чисел кількома способами:

Отже дільники числа 54 є:

Аналонічно дільники числа 24 є:

Числа, які є у обох цих списках, є спільними дільниками чисел 54 та 24:

Найбільшим серед них є число 6. Воно найбільшим спільним дільником чисел 54 та 24. Можна записати:

Скорочення дробів

Найбільший спільний дільник використовується для скорочення дробів. Наприклад, НСД(42, 56) = 14, тому,

Властивості

• НСД є комутативною функцією: НСД(a, b)= НСД(b, a).

• НСД(a, b)

• НСД(a, b, c, d) = НСД(НСД(a, b), НСД(c, d))

• НСД(a, b) =|ab|/НСК(a, b), де НСК(a, b) найменше спільне кратне чисел a, b.

Обчислення НСД методом розкладу на прості множники

Нехай розклад чисел на прості множники:

Тоді

НСД

Приклад

Визначимо НСД . Розклад на прості множники:

,

або, подаючи для наглядності нульові степені,

,

Отже,

НСД

Ефективним алгоритмом обчислення НСД є алгоритм Евкліда

НСД в кільці многочленів

В кільці многочленів над довільним полем найбільшим спільним дільником многочленів і , принаймі один з яких є відмінний від нуля, називаємо нормований многочлен найвищого степеня, який ділить обидва многочлени і Обчислити НСД можна розкладаючи многочлен на нескоротні множники. Можна застосувати також алгоритм Евкліда.

Приклад

Обчислимо НСД двох многочленів над полем дійсних чисел:

Розкладаючи многочлени на нескоротні множники

,

отримуємо

НСД .

Найменше спільне кратне

Найменше спільне кратне (НСК) двох цілих чисел a, b називаємо найменше натуральне число, яке є кратним обох цих чисел. Позначаємо НСК(a, b), в англомовній літературі LCM(a, b). Отже НСК(a, b) є найменшим натуральним числом, яке ділиться без залишку на обидва числа a, b. Означення можна – очевидним способом – узагальнити на довільну кількість аргументів.

Властивості

• НСК(a, b)= НСК(b, a) (перестановка аргументів не змінює НСК).

• НСК(a, b, c, d) = НСК(НСК(a, b), НСК(c, d) )

• НСК(a, b) =|ab|/НСД(a, b), де НСД(a, b) найбільший спільний дільник чисел a, b.

Обчислення НСК методом розкладу на прості множники

Нехай розклад чисел на прості множники:

Тоді

НСК

Приклад

Визначимо НСК . Розклад на прості множники:

,

або, подаючи для наглядності нульові степені,

,

Отже,

НСК

НСК можна теж обчислити за допомогою рівності НСК(a, b) =|ab|/НСД(a, b), використавши для обчислення НСД ефективний алгоритм Евкліда

5.Ділення з остачею

Ділення з остачею (ділення по модулю, ділення націло) — арифметична операція, результатом якої є два числа: неповна частка та остача.

Визначення

Поділити з остачею ціле число на натуральне число означає представити його у вигляді:

— називають неповною часткою,

 — остачею від ділення.

Якщо то:

• кажуть, що ділиться на Позначається

• є дільником Визначення дільника відрізняється від визначення дільника в звичайному діленні.

Наприклад, при діленні з остачею на отримаємо неповну частку та остачу

Також можливе ділення з остачею дійсних чисел на додатні дійсні числа.

При діленні на від'ємне число, навідь для цілих чисел, результат не є однозначно інтерпретуємим. В теорії чисел прийнято, що в мовах програмування, здебільшого, це не виконується.