Введение

Электромагнитное поле — это вид материи, связанный с изменением и непрерывным взаимным превращением магнитного и электрического полей и характеризующийся способностью распространяться в вакууме со скоростью, близкой к м/сек, способностью силового воздействия на заряженные частицы, токи и на определенным образом ориентированную поверхность вещества. Электромагнитное поле в одних случаях характеризуется непрерывным распределением в пространстве, а в других случаях обнаруживает дискретность своей структуры.

Теория электромагнитного поля представляет собой учение об электрических и магнитных явлениях, о теоретических положениях и законах, которым подчиняются эти явления, и о вытекающих из них методах расчета.

Изучение видов полей (электростатическое поле, электрическое поле постоянного тока в проводящей среде, магнитное поле постоянного тока, переменное электромагнитное поле) расширяет физические представления о поле, известные из курса физики, способствует более глубокому пониманию процессов, происходящих в электротехнических установках, а также важно с прикладной точки зрения, поскольку оно дает возможность решать многие задачи, имеющие существенное значение не только для теории электрических цепей.

При изучении переменного электромагнитного поля рассматриваются вопросы излучения электромагнитной энергии, распространения электромагнитных волн в идеальном диэлектрике, в проводящей и полупроводящих средах.

Методика расчета

1.Расчет структуры осесимметричных стационарных электромагнитных полей.

Общее задание

Осесимметричное тело радиуса R находится в однородном внешнем магнитном поле H0, перпендикулярном к его оси. Заданы материальные характеристики окружающей среды. Получить аналитические выражения для потенциалов и и для полей Н_i и Н_e соответственно внутри и вне тела. Для заданных численных значений параметров задачи построить семейство эквипотенциальных линий (10 линий) в плоскости, перпендикулярной оси симметрии тела. Найти вектор магнитной индукции В в точке М.

Параметры задачи:

Шарообразная полость в магнитной среде:

R=0,06 м; H₀=50 A/м; µ_і =1; µ_е=2*10². Координаты точки M: r=0,05м, =90.

Решение

Решение производить в сферических координатах, связанных с центром шара, r –радиус-вектор точки наблюдения, ось x направлена вдоль приложенного магнитного поля (рис. 1.1).

Рисунок 1

Решим уравнение Лапласа с соответствующими граничными условиями на поверхности r = R.

Запишем уравнение Лапласа [1]:

(1.1)

С учетом азимутальной симметрии задачи поле будет описываться уравнением [1.2]:

(1.2)

В соответствии с методом разделения переменных, можно найти решение  уравнения [1.2] в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

(1.3)

Определение функции φ_М в виде произведения двух функций [1.3] позволяет разбить уравнение в частных производных [1.2] на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых одно будет составлено относительно М, другое – относительно N.

После подстановки выражения [1.3] в [1.2], учтя, что:

; .

Поэтому

(1.4)

Умножив на r²/MN, легко заметить, что переменные разделяются:

(1.5)

Из приведенного выше уравнения видно, что первое слагаемое в нем представляет собой функцию только r, а второе слагаемое – функцию только θ. Сумма двух функций равна нулю для бесчисленного множества пар значений r и θ (то есть уравнение [1.5] годится для всех точек поля). Это возможно тогда, когда каждая из данных функций равна нулю:

и (1.5')

либо когда

и (1.5'')

Где р некоторое число, пока не известное.

Этим самым решение уравнения [1.2] с частными производными сведено к более простой задаче – решению дифференциальных уравнений [1.5'] [1.5''].

Прежде всего, надо найти частные решения уравнений [1.5'] :

Заменим:

Проинтегрировав уравнения имеем решения для функций М и N соответственно:

А₃ равно нулю т.к. только в этом случае отсутствует слагаемое . Потенциал есть функция непрерывная и на конечном отрезке он не может изменяться на бесконечно большую величину. Из физических соображений ясно, что потенциал точек оси z вблизи шара не может быть равен бесконечности. Между тем, если бы А₃≠0, то в решении для всех точек, у которых θ=0 (tgθ=0; ln tgθ = -∞).

Таким образом, частное решение для φ, вытекающее из [1.5'] следующее:

(1.6)

Найдем решение уравнений [1.5'']:

или

Применим подстановку Эйлера M=Crⁿ:

;

Подставим производные в уравнение:

или

Решение квадратного уравнения:

(1.7)

Значение р определяется при интегрировании второго уравнения:

Получим что

N=B cosθ.

Убедится в этом можно путем подстановки и одновременно найдем значение р:

Следовательно р=2.

После нахождения р подставим его в [1.7]:

найдем: n₁=1 n₂=-2

Таким образом совместное решение уравнений [1.5''] дает следующее выражение для φ_М:

Полное решение:

(1.8)

То есть:

–для внутренней области

(1.8)

–для внешней области

(1.9)

Для определения постоянных интегрирования необходимо учесть не только граничные условия на поверхности полости, но и поведение потенциала на бесконечности. Потенциал φ_М на бесконечности в этом случае имеет вид:

(1.10)

Так как потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально r, то С_1е / r есть составляющая потенциала от суммарного заряда шарообразной полости, рассматриваемой как точечный заряд. По условию суммарный заряд полости равен нулю. Следовательно, С_1е=0, а выражение для потенциала после сопоставления [1.9] и [1.10] приобретет вид[1]:

(1.11)

Рассмотрим выражение потенциала φ_М для внутренней области. Оно должно давать конечное значение потенциала для точек внутри полости. Это возможно только тогда, когда С_1і=0 С_4і=0. Постоянная С_2i=0, с точностью до которой определяется потенциал, равна аналогичной постоянной С_2е=φ_М0 для внешней области. Таким образом, для внутренней области

(1.12)

Чтобы найти неизвестные постоянные С_4е и С_3і воспользуемся граничными условиями:

φ_Мі = φ_Ме при r = R, следовательно,

(1.13)

В_ni=В_ne при r=R, следовательно,

(1.14)

Откуда получаем, что

(1.15)

Решая систему уравнений [1.13] и [1.15] получаем следующие результаты для С_4е и С_3і :

, (1.16)

Подставив найденные постоянные, получаем потенциалы внутренней и внешней области:

(1.17)

(1.18)

Напряженность поля в полости и вне её:

(1.19)

(1.20)

Уравнение эквипотенциальных линий в плоскости (xoz), заданное в сферических координатах, имеет вид:

(1.21)

где _n=const – фиксированное значение потенциала, выбранное для построения эквипотенциали (n=1,2,3,...). Уравнения эквипотенциальных линий внутри и вне полости следуют из формул [1.17], [1.18] и [1.21]

(1.22)

(1.18)

Составляем блок-схему и программу расчета и построения эквипотенциальных линий (см. приложение А). (эквипотенциальные линии строим в плоскости zx).

Вектор магнитной индукции вне полости определяется выражением[1.20]:

Численное значение вектора магнитной индукции в точке M равно