Тема 21

Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ фігур, об’ємів тіл та розв’язування фізичних задач

1 . Обчислення площі фігури у прямокутних координатах

1. Якщо на відрізку [a, b] функція f(x)  0, то площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = f(x), віссю Ох і прямими х = а і х = b, подається так:

(1)

2 . Якщо потрібно обчислити площу фігури, обмеженої кривими у = f₁(x), у = f₂(x) (f₁(x)  f₂(x)) ординатами х = а і х = b, то

(2)

2 . Довжина дуги кривої

1. Довжина дуги кривої у прямокутних координатах. Нехай у прямокутних координатах на площині задано криву рівнянням у = f(x), де f(x) і f(x) — неперервні на відрізку [a, b] функції.

Знайдемо довжину дуги АВ цієї кривої, що міститься між вертикальними прямими х = a i x = b (рис. 5).

Застосування визначеного інтеграла в економіці

1. Загальні витрати споживачів на товар. Розглянемо криву попиту Р = f(Q) на деякий товар (рис. 6). Якщо Р — ціна одиниці товару, то загальна сума витрат на придбання товару Q буде Р  Q.

Тема 22

Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь. Задача Коші. Геометричний зміст д/р. Загальний та частинний розв’язки д/р

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найвищий порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. Надалі для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення «ДР».

. Розв’язком ДР називається функція у = (х), яка в результаті підставляння в ДР замість шуканої функції перетворює це ДР на тотожність.

Графік функції у = (х) називається інтегральною кри- вою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.

Задача знаходження частинного розв’язку у = (х) ДР (2), що задовольняє умову:

у = у₀ при х = х₀, (3)

називається задачею Коші.

Теорема 1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця

Тема 23

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжності рядів

Ряд виду

(1)

де а_n > 0 (n = 1, 2, 3, …), називається знакопочерговим рядом.

Теорема 1. Нехай у знакопочерговому ряді (1) послідовність а_n(n = 1, 2, 3, …) монотонно спадає. Якщо

ряд (1) збігається і його сума не перевищує а₁.

Ряд (2) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд

(3)

Збіжний ряд (2) називається умовно збіжним, якщо ряд (3) розбіжний

Теорема 2. Абсолютно збіжний ряд збігається.

Оскільки для рядів з додатними членами відомі достатні ознаки збіжності, то їх можна використовувати для дослідження збіжності рядів за знакопочерговими членами.

Теорема 3. Якщо для знакопочергового ряду

існують границі

,

Теорема 4. Якщо ряд збігається абсолютно, то за будь-якої перестановки членів ряд буде збігатися і сума його не змінюватиметься.

Теорема 5. (Теорема Рімана.) Якщо ряд збігається умовно і s — будь-яке наперед задане число, то завжди можна переставити члени ряду так, щоб сума отриманого ряду дорівнювала s.