Тема 17

Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт

. Різницю називають повним приростом функції за х та у при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х функції , а різницю — частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно і . Отже,

. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,

Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.

Теорема . Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні

,

Теорема. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

Теорема . Якщо дві мішані похідні порядку m, що відріз­няються лише порядком диференціювання, неперервні в деякій точці, то їх значення в цій точці збігаються

Тема 18

Локальні екстремуми функції багатьох змінних

Тема 19

Поняття первісної функції та невизначеного інтегралу. Таблиця основних інтегралів

. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx — диференціал функції F (x):

Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом

Вираз називають підінтегральним виразом, функцію f (x) — підінтегральною функцією, змінну x — змінною інтегрування

Теорема 1. Усяка неперервна функція має первісну

Основні властивості невизначеного інтеграла

Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:

Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:

Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків:

Тема 20

Означення та умови існування визначеного інтегралу. Властивості. Формула ньютона – Лейбніца

Сума називається інтегральною сумою, або сумою Рімана.

Скінченна границя І суми s при називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a; b] і позначається

Теорема. (Необхідна умова інтегрування.) Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.

Властивості визначеного інтеграла

Властивість 1. Визначений інтеграл є міра площі. Визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції.

Властивість 2. При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, не змінюючи абсолютної величини.

Властивість 3. (Поділ відрізка інтегрування.) Нехай точка c Î [а; b]. Тоді

Властивість 4. (Знак визначеного інтеграла.)

1. Якщо f(x) > 0 для х Î (а; b), a < b, то

2. Якщо f(x) < 0 для х Î (а, b), a < b, то

Властивість 5. Якщо j(х) > y(х) для х Î (a; b), a < b, то справджується рівність:

Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:

(5)

Властивість 7. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

(6)

Властивість 8. Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то

(7)

Властивість 9. Якщо f(x) інтегровна на [a; b], де а < b, і якщо на цьому проміжку виконується нерівність

то

(8)

Властивість 10. (Теорема про середнє значення.) Нехай f(x) — інтегровна на [a; b] функція і на всьому проміжку Тоді