Тема 10

Числова послідовність. Границя числової послідовності. Теореми

про границі. Нескінченно малі та нескінно великі послідовності

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою зверху, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, … виконується нерівність .

Означення. Послідовність х_n, не обмежена зверху або знизу, називається необмеженою.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою зверху, якщо існує число т, таке що для всіх виконується нерівність . Число т називається верхньою межею множини.

Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що для всіх, виконується нерівність . Число m називається нижньою межею множини.

Множина, для якої існують верхня та нижня межі, називається обмеженою.

Найменша серед верхніх меж називається супремумом і позначається . Найбільша серед нижніх меж називається інфімумом і позначається .

Означення. Точною верхньою межею множини Х називається значення , таке що:

1. для будь-якого виконується нерівність ;

2. для будь-якого знайдеться значення , таке що

.

Аналогічно означується точна нижня межа множини Х.

Теорема. У будь-якої обмеженої множини існують точні верхня та нижня межі.

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для кожного як завгодно малого додатного числа існує таке число , що

для всіх .

Позначення: .

Рис. 1

Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною

Властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. Границя сталої дорівнює цій сталій:

Теорема 2. Якщо послідовність х_n має границю, то ця границя єдина.

Теорема 3. Послідовність х_n, яка має границю, є обмеженою.

Теорема 4. Нехай . Тоді знайдеться число N, таке що при будь-якому справджуватиметься нерівність

.

Теорема 5. Нехай . Якщо послідовність x_n при всіх n задовольняє нерівність , то

.

Теорема 6. Якщо і , , то .

Теорема 7 (про «охоплену» послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність . Якщо послідовності х_n і у_n збіжні, причому , то послідовність u_n також буде збіжною і .

Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.

Тема 11

Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву

Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀, якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .

Означення. Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Означення. Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.

Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х₀ справа (зліва), якщо

Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.

Властивості неперервних функцій

Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) — неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:

1) f(x)  g(x); 3) const g(x);

2) f(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x)  0.

Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х₀ і u = F(y) неперервна в точці f(x₀), то їх композиція f о F — cкладена функція і u = F(f(x)) — неперервна в точці х₀.