Функція Дирихле

Функція Дирихле описується формулою

де п — ціле позитивне число.

Функція має пульсуючий вигляд: пульсації максимального рівня розташовані при х = 2k, значення функції в цих точках дорівнює (-1)^k(n-1) Між цими головними пульсаціями розташовані пульсації меншого рівня. При непарному п усі головні пульсації мають позитивну полярність, і період функції дорівнює 2л. При парному п полярність головних пульсацій чергується, і період функції виявляється вдвічі більше — 4.

Для розрахунку функції Дирихле в МATLAB служить функція diriс. Синтаксис її виклику наступний:

у = diric(x, n)

Призначення вхідних параметрів х и n відповідає приведеній вище формулі.

Функцію Дирихле називають ще періодичною sinc-функцією . При непарному п це дійсно так, і функцію Дирихле можна представити таким чином:

При парному п функція Дирихле є сумою зрушених у часі sine-функцій зі знаками, що чергуються:

Оскільки функція sine має рівномірний спектр в смузі частот від нуля до тс, представлення функції Дирихле у вигляді ряду Фур'є (таке представлення легко одержати за допомогою формули, приведеної в розділі «Зв'язок перетворення Фур'є і коефіцієнтів ряду Фур'є» глави 1) має дуже простий вигляд — кількість гармонійних складаючих та їхні амплітуди однакові:

-при непарному п

- при парному п

Вправа 5

Побудуємо графіки функції Дирихле при непарному і парному значеннях п (п = 7 і п = 8, мал. 4.5):

» х = 0:0.01:15;

» p1ot(x, dirшc(x, 7))

» grid on

» title('n = 7')

» figure

» plot(x, diric(x, 8))

» grid on

» title('n = 8')

Рис. 4.5. Функція Дирихле непарного (зверху) і парного (знизу) порядку

Генерація сигналу з уявною частотою

Функція chirp призначена для генерації коливань з одиничною амплітудою, миттєва частота яких міняється по заданому законі:

у = chirp(t, f0. tl, fl, 'method', phi)

Тут t — вектор значень часу, phi — початкова фаза коливання. Інші параметри визначають закон зміни частоти.

Строковий параметр 'method' визначає тип залежності миттєвої частоти від часу — 'linear', 'quadratic' або 'logarithmic'. Числові параметри f₀, t₁ і f₁ створюють опорні точки для розрахунків: у нульовий момент часу миттєва частота дорівнює f₀, а в момент часу t₁ вона дорівнює f₁.

Математично закон зміни миттєвої частоти виглядає таким чином:

-'quadratic':

а 'logarithmic' на ділі суперечить своїй назві — залежність миттєвої частоти від часу при цьому не логарифмічна, а експонентна:

- 'linear':

Діапазон значень часу в векторі t може не містити в собі значень 0 і t₁.

Параметри phi і 'method' при виклику функції можна опускати, тоді будуть використані їхні значення за замовчуванням: phi = 0 і 'method' = 'linear'.

Обмеження сигналу по тривалості не виробляється, коливання генеруються для всіх значень часу, переданих функції у векторі t.

Вправа 6

Сформуємо три сигнали, визначених на проміжку 0...1 с, які мають різні закони зміни миттєвої частоти. У нульовий момент часу всі сигнали мають миттєву частоту 1 кГц, а в момент часу 1 з — 2 кГц. Частоту дискретизації виберемо рівної 8 кГц:

» Fs = 8еЗ; % частота дискретизації

» t = 0:1/Fs:1; % дискретний час

» f0 = 1е3;

» t1 = 1;

» f1 = 2е3;

» s1 = chirp(t, f0, tl, f1, 'linear');

» s2 = chirp(t, f0, tl, f1, 'quadratic');

» s3 = chirp(t, f0, tl, f1, 'logarithmic');

» specgram(sl, [], Fs)

» title('linear')

» colormap gray

» figure

» specgram(s2, [], Fs)

» title('quadratic')

» colormap gray

» figure

» specgram(s3, [], Fs)

» title('logarithmic')

» colormap gray

Спектрограми сформованих сигналів, що наочно демонструють характер зміни миттєвої частоти при різних значеннях параметра 'method'. Зверніть увагу на те, що значення миттєвої частоти при t = 0 і t = 1 для всіх трьох сигналів збігаються.

Функція specgram будує спектрограму, тобто залежність миттєвого амплітудного спектра сигналу від часу. Величина модуля спектральної функції відображається кольором у координатах «час — частота». Команда colormap gray встановлює для графіків палітру відтінків сірого кольору; у противному випадку при чорно-білому відтворенні кольорових спектрограм залежність відтінку від рівня амплітудного спектра виявилася б немонотонною.