3. Учет цикличности многолетних колебаний стока в гидрологических расчетах

Цикличность – чередование фаз (периодов) повыш. и пониж. водности.

Исследование цикоичности выявило ряд особенностей: 1. Каждый новый цикл не похож на предыдущий – выражается в продолжительности и величине отклонения от среднего. 2. Цикл. хар-р колеб стока отличается у разных рек.

Причина цикличности: цикл хар-р многолетней изменчивости метеопараметров (осадки и темп), инерционность процессов.

Изменения климата: 7-13 вв – теплый период, 14-нач 19 – малый ледниковый период (увел покрытия льдами, уменьш темп возд), конец 19 – наст время – теплый период (вклад хоз деят-ти). Чем вызвано изм климата? – гелиофизические процессы – изм солн активности – 11, 22, 80 летние циклы, изм орбиты (центроситет и наклон Земли), изм приливообраз. силы. – внутриземные процессы. Все изменения происходят медленно и плавно, а значит гипотеза стационарности верна.

Ядром проблемы является природа образования циклов в многолетних колебаниях стока: а) цикличность отражает нестационарность процесса колебания стока, вызываемую внешними по отношению к этому процессу причинами, матожидание mx(t) не константа, б) цикличность-св-во любых случайных последовательностей, в коррелированных рядах тенденция к группированию членов растет с увеличением коэф корреляции. Например после многоводного года на след год переходит некоторый запас бассейновых вод, заключенных в почве, лед покрове, повышенном уровне грунтовых вод. Постоянное действие фактора переходящих запасов отражается в многолетнем режиме положительным коэф корреляции между соседними объемами годового стока.

Синхронность (асинхронность) колебания стока – совпадение (несовпадение) колебания стока отдельных лет. Мера синхронности – коэф. парной корреляции. Синхронными считаются колебания с коэф корреляции стремямщимся к 1. Асинхронные – r от -1 до 0. Если оценка коэф корреляции статистически незначимо отличается от 0, то колебания несинхронные.

Синфазность – совпадение по продолжительности и времени наступления. При анализе синфазности пользуются визуальным сравнением графиков хронологического хода скользящих средних либо РИК.

Плюсы цикличности – возможность привлечения при различных видах расчета методов географической и гидрологической аналогии. Чем страшна для расчетов цикличность колебания стока? 1. Создание проблемы – репрезентативность периода наблюдений – хар-т на сколько период наблюдений отражает закономерности в изменении стока воды, характерном для рек данной территории. Мера репрезентативности – среднеквадратическое отклонение σ(х среднее) – σх/корень из n. Чтобы учесть возможные погрешности, в расчетах удовлетворительной считается длина ряда более 40-60 лет. при такой продолжительности хронологический ряд покрывает долгопериодичные циклы 18-46 лет, которые вносят заметный вклад в дисперсию многолетних колебаний стока. Такой подход к репрезентативности периода отражается в понятии норма стока – это среднеарифметическое значение хар-ки стока, осредненное за период такой продолжительности, увеличение которой не несет за собой увеличение среднего. Если ряд короткий, то получается искажение дисперсии ряда.  критерий продолжительности многолетнего периода  - включение в него четного количества многолетних циклов, реально встречающийся в многолетних колебаниях, а также их разнообразный и нестационарный вклад в дисперсию.  2. Следствие того, что цикличность – отражение нестационарности, которая ставит под сомнение гипотезу стационарности.

Несколько методов анализа циклической структуры:

1. Разностно-интегральные кривые – относятся к группе кривых накопления стока, показывают последовательное накопление воды от какого-то начального момента времени. модульный коэф-т ki=Qi/Qср за N лет. st=сумма (ki-1) – кривая накопления стока. ординаты относятся на конец года, соединяются прямыми. Если водность больше чем средняя то кривая идет вверх, если меньше – вниз. За весь период N s=0. плюсы метода: сразу наглядно ает представление о цикличности, для любого периода можно определить его водность. Водность оценивается через средний модульный коэф-т Kср=1+(sкон-sнач)/2. если кср между 0,95 (0,9) и 1,05 (1,1) средний по водности, если больше 1,05 – многоводный. ряд продолжительностью более 50-60 лет если он включает больше 2  полностью законченных циклов можно считать репрезентативным.

2. Фильтрация временных рядов (сглаживание) – используется линейный фильтр – скользящее. Минусы: в этом методе теряется несколько первых и последних значений. при сглаживании по 3 величинам: Q1 = (5Q1+2Q2-Q3)/6, полученные циклы не имеют четких границ, в рез-те получается совсем другой ряд, члены ряда сильно скоррелированы, это приводит к появлению псевдоциклов.

3. Спектральный анализ – направлен не на выявление цикличности, а на выявление скрытой периодичности. Оценки спектральной плотности позволяют выявить колебания тех частей,  которые имеют наиб вклад в общую дисперсию.

7. ТРЕБОВАНИЯ К ИСХОДНОМУ РЯДУ НАБЛЮДЕНИЙ, ОЦЕНКА РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТИ РЯДА НАБЛЮДЕНИЙ.  Задача гидрологических расчетов – количественная оценка хар-к стока, необходимых для гидротехнического строительства, в/х проектирования. Основная концепция сводится к распространению на будущий период тех закономерностей установленных за имеющийся период наблюдений. В этих условиях важно качество исходных данных, однородность ряда в отношении степени влияния хоз деят-ти и репрезентативность периода наблюдений. Анализ исходных данных:1. полнота и надежность наблюдений за Н и Q, в особенности  наличия данных о наиб и наим уровнях в различные фазы, увязка уровней постов. 2. увязка годового и сезонного стока, макс и мин расходов и уровней по длине реки, 3. полнота учета стока на пойме и в протоках, 4. обоснованность способов подсчета стока за разные периоды, экстраполяции кривой Q=f(H), учета деформации русла, переменного подпора. 5. точность расчетов стока за год, сезон, месяц, сутки, особенно за зиму.

Производится проверка однородности в связи с переносом поста например, в/х деят-ти, проверка на независимость данных.

Также если есть пропуски данных необходимо проверить можно ли восполнить пробелы. Данные низкого кач-ва либо уточняются либо исключаются.

При анализе особое внимание уделяется влиянию хоз деят-ти.

Оценка репрезентативности периода по РИК стока реки-аналога достаточна лишь для средней многолетней величины расчетной хар-ки. более полный анализ репрезентативности осуществляется сопоставлением кривых обеспеченности по реке-аналогу за длительный период N и исследуемый период n. при  значительном расхождении между кривыми малый период признается нерепрезентативным и требуется приведение оценок параметров ФРВ к более длительному ряду.

4. ФРВ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Необходимость применения аппарата ФРВ вытекает из постановки задачи когда требуются расчеты  величин той или иной вероятности ежегодного превышения (обеспеченности). Общий подход задачи состоит в построении аналитической ФРВ параметры которой определяются по имеющемуся ряду наблюдений. Тип аналитической кривой закреплен нормативно: рекомендуется трехпараметрическое гамма- распределение. Простейшей формой анализа является визуальное сопоставление эмпирической и аналитической кривых по рассматриваемому ряду. Но в некоторых случаях эмпирическая кривая явл единственно верным источником суждений о вероятности превышения рассматриваемой хар-ки стока.

Кривые обеспеченности бывают эмпирические и аналитические. Строятся на специальной клетчатке. у нас клетчатка Хазена. если строить в декартовой системе то кривая получится более сложной формы, на клетчатке кривая выпрямляется.  Существует много видов клетчаток. и много формул определения эмпирической обеспеченности. мы пользуемся формулой Крицкого-Менкеля P* n = m/(n+1)=M – матожидание , есть еще P*n=(m-1)/(n-1)=Mo – мода (наиболее вероятное значение) , P*n=(m-0.2)/(n+0,4)=Me – медиана эмпир обеспеченности Чегодаев. Формулы в средней части все дают одинаковые значения.

При построении эмпирической кривой обеспеченности каждому значению Qm ставится в соответствие не истинное значение обеспеченности а некоторая статистическая оценка  которая имеет свои доверительные интервалы. Чтобы получить истинную оценку ряд должен быть бесконечным.

Аналитических кривых очень много. Некоторые с успешным опытом эксплуатации: 1. Биномиальная (кривая Пирсона III типа), 2. семейство кривых трехпараметрического гамма распределения (Крицкого-Менкеля). 3. Лог-нормальное распределение. Чем руководствуются когда выбирают аналитический метод? 1. хорошо соответствует эмпирическим данным при правильном определении параметров. 2. величины стока не могут принимать отрицательных значений. 3. кр. обеспеченности не должна ограничиваться сверху. 4. Аналитические ф-ии д.б. одномодальными 5. числовые параметры должны определяться через выборочные статистики. 6. параметры должны иметь физ смысл и их не д.б. много (2-3). в итоге мы работаем с 3 параметрами – среднее, коэффициент вариации Сv, коэффициент ассиметрии Cs. при нормальном распределении 2 хар-ки (среднее и Cv), но в гидрологии чаще встречается несимметричное распределение. Биномиальная кривая получена путем интерполяции биномиальных вероятностей по дискретному аргументу. при Сs=2Cv функция f(x) начинается из нуля, если Сs>2Cv, то смещение вправо, если Сs<2Cv то смещение влево. так как при Сs<2Cv биномиальные кривые  уходят в отрицательную область что противоречит физической природе величины стока а при росте Cs/Cv возрастает нижний предел вследствие чего появляется несоответствие эмпирических и аналитических кривых в областях больших обеспеченностей, то была разработана другая аналитическая кривая – кривая Крицкого-Менкеля. в качестве модели была принята кривая пирсона третьего типа при Сs=2Cv.

5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФРВ

 мы работаем с 3 параметрами ФРВ – среднее, коэффициент вариации Сv, коэффициент ассиметрии Cs. Основными метода определения параметров являются метод моментов и метод наибольшего правдоподобия. Графоаналитический и графический – вспомогательные.  

1)  Метод моментов – среднее определяется как среднеарифметическое из всех членов выборки – это основано на том что при неограниченном увеличении числа опытов статистическое среднее приближается к математическому ожиданию. Рабочие формулы для расходов воды: Qo=сумма Qi/n, Cv с волной =корень из ( сумма(ki-1)^2/n-1),  Cs с волной= n/(n-1)(n-2) * сумма(ki-1)^3/Cv^3, k- модульные коэффициенты. Учитываем поправки на смещение оценок: Cv=( a1+ a2/n)+( a3 +a4/n)*Cv+( a5+ a6/n)* Cv^2, Cs =(b1+ b2/n)+( b3+  b4/n)*Cs+( b5+ b6/n)Cs^2.

2) Метод наибольшего правдоподобия – сущность заключается в нахождении численного значения параметра аналитической кривой при котором достигается максимум произведения плотности вероятностей наблюдаемых величин х1….хn; L(x1…xn)=φ(x1,a)* φ(x2,a)* …*φ(xn,a), где  φ(xi,a)-плотности вероятностей определенные по аналитической кривой при заданном значении параметра а. L(x1…xn)=φ(x1,a)* φ(x2,a)* …*φ(xn,a) – ф-я правдоподобия, ее максимум находится при dL/da=0. с учетом того, что lnL достигает максимума при том же значении а что и L. Наиболее правдоподобная оценка математического ожидания равна среднеарифметическому  значению ряда. Cv и Cs/Cv находятся по статистикам λ2 и λ3. λ2 = 1/(n-1)*сумма lg(ki). λ3=1/(n-1)*сумма (ki*lgki). в работах по отношению Cs/Cv=2 мы снимали с номограмм через статистику λ2 значение Cv.  λ3 не использовали.

3) Графоаналитический метод – гипотеза: аналитическая кривая обеспеченности хотя бы в 3 точках совпадает с эмпирической кривой обеспеченности – 5%, 50%, 95%. метод применим к биномиальному распределению на основе таблица нормированных отклонений: Фр=(Кр-1)/Cv=(xp-xср)/σср. Кр-модульный коэф заданной обеспеченности. хр=Фр*σх+хср. Cs определяется через коэф скошенности. он отражает несемметричность кривой распределения.  S=(Q5+Q95-2Q50)/(Q5-Q95). по таблице ищем Cs, Ф5-Ф95, Ф50. Qo=Q50-σФ50, σ=(Q5-Q95)/( Ф5-Ф95), Cv=σ/Qo.

4)  Графический метод – построение клетчаток вероятностей, спрямляющих ф-ию распределения.

ТОЧНОСТЬ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ И КВАНТИЛЕЙ ФРВ

 Погрешности делятся на систематические ошибки (смещенность выборочных параметров) и случайные ошибки (случайное рассеивание). 1. Систематические -их величина зависит от длины ряда, типа распределения, от размера числ. хар-ки, типа распределения, коэф внутрирядной связанности r1. Выборочное среднее арифметическое – несмещенная оценка матожидания,  выборочная оценка дисперсии, Cv и Cs – отрицательно смещенные оценки. Для уменьшения или устранения отрицательного смещения вводят поправки: n/(n-1) для дисперсии и n^2/(n-1)(n-2) для Cs. в методе натибольшего правдоподобия для этих же целей вводится поправка n/(n-1) для статистик λ2 и λ3. Метод наибольшего правдоподобия устраняет смещенность с помощью добавок. Метод моментов и графоаналитический не устраняют смещения, но  при Cv<0,5 и Cs<1. отриц смещение незначительно и оценки берутся без поправок. поправки на смещение оценок: Cv=( a1+ a2/n)+( a3 +a4/n)*Cv+( a5+ a6/n)* Cv^2, Cs =(b1+ b2/n)+( b3+  b4/n)*Cs+( b5+ b6/n)Cs^2.

2. Случайные ошибки выборочных средних. Выборочные средн арифм независимых случ величин распределены по нормальному закону со ср квадратическим отклонением σ=σх/корень из n. для рядов с автокорреляцией между смежными членами ср квадратическое отклонение оценок определяется по сложной формуле Крицкого-Менкеля. при r<0,5 и n>10 формула приближенно может быть прелставлена в виде и имеет большую точность: σx с чертой=(σх/корень из n)*корень из ((1+r)/(1-r)). Случайные ошибки выборочных оценок Cv. Для ряда с yhv распределением среднеквадратическая ошибка σCv=(Сv/корень из 2*n)*корень из (1+2Cv^2)/ средняя квадратическая ошибка методом моментов σCv с волной=Сv с волной* E/корень из n. E=E(r,Cv/Cs,Cv) – из таблиц и кривых Крицкого Менкеля. Чем больше r1 тем больше ошибки. Большое r1 уменьшает объем независимых величин. После определения хар-к можно строить кривые распределения. построение к модульных коэф удобно для сравнения. Если аналитич кривая плохо ложится на точки то можно говорить об ошибках определения характеристик.  если кривая лежит ниже или выше точек то  неверно определено среднее, если левый угол кривой задран,  завышено Cv, если опущен – занижено. При Cs = 0 кривая – прямая, если >0 то выгиб вниз и наоборот.

Случайные ошибки определения Cs – наличие автокорреляции незначительно влияют на на величину среднеквадратической ошибки Cs, отмечается лишь тенденция снижения σCs с ростом r.  Случайные ошибки определения выборочных ординат кривых обеспеченности (квантилей) – результат гидролог расчетов. Систематические погрешности в определении ординат устраняются вместе с устранением смещения оценок параметров кривых обеспеченности.