2. Особенности статистического анализа колебаний стока.

Объектом статистического анализа в расчетах стока является временной ряд ежегодных значений фазово-однородных величин расходов. Статистический анализ временного ряда может осуществляться с двух позиций: 1.последовательности значений случайной величины и 2.реализации случайного процесса. При первом подходе процесс стока как бы лишен истории развития. Временной ряд как набор случайных величин, появляющихся в результате отдельного опыта при фиксированных постоянных условиях. Величина стока в любом году имеет постоянную ФРВ. Если временной ряд как реализация случайного процесса, то на первый план выходит исследование динамики случайных явлений, выяснение закономерностей изменения ФРВ величин стока от года к году. При анализе многолетнего хода величин стока была установлена цикличность многолетних колебаний стока, т.е. последовательная смена многоводных и маловодных периодов. Для объяснения этой структуры был привлечен аппарат случайных процессов. Его применение к многолетним колебаниям стока имеет существенные особенности, вытекающие из геофизической природы стока: процесс стока – уникальный естественноисторический процесс. В общем случае один временной ряд дает о случайном процессе такую же информацию, как одно наблюденное значение случайной величины о случайной величине. Имея большое число реализаций, можно характеризовать случайный процесс с достаточной степенью подробности – вычислить характеристики случайных процессов: мат. ожидание m_x(t), дисперсию D_x(t) ковариационную функцию K_x(t, t’). Если же мы имеем только одну реализацию, то необходимо прибегнуть к некоторым гипотезам относительно его свойств. Речь идет о свойствах стационарности и эргодичности. Случайный процесс X(t) называется стационарным, если все его статистические характеристики не зависят от начала отсчета времени. Обычно имеют в виду стационарность в широком смысле, т.е. постоянство mx(t), Dx(t), Kx(t,t’)=Kx(τ), где τ=t-t’ – произвольный сдвиг во времени. Нестационарный процесс имеет определенную тенденцию развития во времени и его характеристики представляют собой функции времени. Свойство эргодичности обеспечивает возможность оценки характеристик случайного процесса по одной реализации. Для стационарного эргодического процесса, представленного реализацией x₁,…x_N, т.е. рядом наблюдений за N лет, его характеристики могут быть оценены как: ; ; , а автокорреляционная функция, определяющая коэффициенты корреляции между значениями x_t и x_t+τ оценивается как: . Достаточным условием для подобной оценки мат. ожидания является r(t)→0 при τ→∞. Для остальных оценок аналогичные условия эргодичности выглядят сложнее. Для описания многолетних колебаний речного стока применяются модели однородных цепей Маркова. Марковской цепью называется случайная последовательность, для которой значение x(t) зависит лишь от значений x(t-1),…,x(t-k), и не зависит от поведения последовательности в момент t-k-1, t-k-2, … (Марковская цепь k-ого порядка). Для простой Марковской цепи (k=1) вся предыстория сводится к состоянию в момент времени t-1, т.е. величине x(t-1). Марковский процесс называют однородным, если закономерности его поведения на любом интервале не зависят от расположения интервала на временной оси. В практике гидрологических расчетов используется более узкий класс моделей однородных марковских цепей – стационарные модели авторегрессии k-ого порядка. В них зависимость x(t) от x(t-1),…,x(t-k) предполагается в виде x(t)=m_x+a₁[x(t-1)-m_x]+…+a_k[x(t-k)-m_x]+U(t), где а1…ak – коэффициенты регрессии, а U(t) – последовательность независимых, одинаково распределенных величин с нулевым средним и постоянной дисперсией (белый шум). Очень важен выбор верной модели. На основе модели оценивается дисперсия выборочных параметров ФРВ, вырабатывается критерий репрезентативности, она позволяет моделировать искусственные ряды, имитирующие многолетние колебания стока.