17. Географо-гидрологический метод в расчетах стока.

Основная идея: изучение вод в определенной физико-географической среде выявлением генетических связей характеристик гидрологического режима с комплексом формирующих его факторов. В анализе и расчетах речного стока он реализуется в виде метода географических обобщений: данные о пространственном распределении стока и его факторах обобщаются в виде соотношений, связывающих особенности формирования стока и его режима с географическим положением бассейна. Результаты обобщений представляются в виде карт или расчетных эмпирических зависимостей. С их помощью определяются расчетные характеристики стока для створа на основе принципов географической аналогии и географической интерполяции. Принцип географической аналогии отражает целостность географических ландшафтов и взаимосвязь их элементов, что позволяет предположить близость характеристик стока для речных бассейнов со сходными фиг-гео условиями. Принцип географической аналогии отражает закон географической зональности. Факторы стока делятся на зональные и внутризональные (отклонение от типичных зональных условий). Зональные закономерности раскрываются методом географической интерполяции. Одна из модификаций его – метод изолинии, основанный на гипотезе о плавном и непрерывном изменении картографируемых характеристик по территории и независимости их от площади водосбора. Метод гидрологической аналогии применяется при необходимости переноса данных с одного бассейна на другой. Региональные эмпирические зависимости характеристики стока от физико-географических показателей являются наиболее совершенной формой метода аналогии: перенос параметров обосновывается статистическими средствами и соображениями географического характера. Условие применения интерполяции и аналогии – параметризация функций распределения вероятностей величин стока – описание эмпирических кривых обеспеченности единой формулой такого вида, чтобы индивидуальные особенности их в достаточной степени учитывались параметрами аналитического выражения. В качестве параметров: среднее многолетнее значение (норма), Cv и Cs/Cv. Ландшафтно-гидрологический метод: рассматривать природные воды в комплексе с другими компонентами ландшафта возможно только при накоплении объема материалов наблюдений на стоковых станциях. Самый простой подход: разделять бассейн на совокупность участков с однородными условиями формирования стока. Оптимальная таксонометрическая единица – ландшафт. Имея данные по стоку с каждого ландшафта yi и площади, занимаемые этими ландшафтами fi можно определить суммарный сток с бассейна: Y=Σyi*(fi/F). Основная трудность: нельзя механически переносить гидрологические свойства одного ландшафта на другой без измерений. Составляются модели. Стокоформирующий комплекс – пространственный элемент, гидрологические свойства которого не дифференцируются, а весь бассейн рассматривается как взаимодействующая система этих элементов.

18. Надежность приемов расчета стока при отсутствии гидрометрических данных.

При отсутствии данных наблюдений обычно рассчитывают сток на основе географо-гидрологического подхода. Этот подход использует 2 основных инструмента: карты и эмпирические зависимости. Но в конечном итоге требуется не только оценить хар-ки стока, но и знать, в каких пределах погрешность наших расчетов.

Эмпирическую зависимость можно в общем виде представить как y=f(X;θ*), где Х – вектор факторов (Х=х₁, х₂…х_k), θ* - параметры, оцениваемые по исходным данным y и Х.

Пример: y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+…+a_kx_k, вектор параметров θ*= a₀,… a_k

Важно, что y линейно относительно коэффициентов.

Оценим ошибку (погрешность) расчетов. Обычно просто считают по зависимости квадрат отклонений рассчитанных величин от фактических S_зав = , а потом извлекают корень (получают среднее квадратическое отклонение СКО) и называют погрешностью методики СКО_зав=√S_зав. «Зав» значит на зависимом материале, т.е. на том, который использовался при построении данной эмпирической зависимости.

Вообще ошибка расчетов характеризуется средней квадратической погрешностью V, равной математическому ожиданию квадрата расчета V=M[y-f(X,θ*)]². Где М – обозначение оператора мат. ожидания; f функция для аппроксимации, X вектор учтенных факторов; θ* оценки параметров на исходном материале. Сообразно принятым допущениям относительно вида f (взяли приглянувшуюся нам либо наубум, либо с позиций теории или для упрощения вычислений), набора факторов (ведь сколько-то мы еще не учли), и оценок θ* (по имеющимся n «точкам» y_i, X_i) структура погрешности V выглядит следующим образом:

V = (D₀ + A) + Г.

D₀ всегда присутствующая остаточная дисперсия, характеризующая отлёт точек вокруг построенной зависимости (условного среднего m_y(x)). Остаточная дисперсия связана с тем, что не все факторы были учтены.

А – погрешность аппроксимации функции f. Ведь мы ее сами придумали и не знаем истинной функции регрессии.

Даже при очень большом объеме данных y_i, X_i (n→∞) D₀ и А останутся. Введем понятие предельной погрешности V₀ = D₀ + A.

V₀ = lim _{(при n→∞)} { } или V₀= M[y-f(X,θ_опт)]², где θ_опт оптимальные значения параметров, оцениваемых по очень длинному ряду θ_опт= θ*(при n→∞) по принципу наименьшего квадрата отклонений (МНК).

Вернемся к Г. Это погрешность за счет неустойчивости зависимости относительно исходных данных. Г= M[f(X,θ*)-f(X,θ_опт)]². В первом случае под функцией θ* параметры оцененные по располагаемым n точкам, θ_опт параметры, оцененные при n→∞.

Итак V = V₀ + Г. Первое слагаемое (предельная погрешность) уменьшается с ростом числа параметров (ведь чем больше параметров f, тем точнее аппроксимация). Второе слагаемое наоборот растет при увеличении числа параметров из-за неустойчивости зависимости относительно исходных данных.

Рассмотрим простейший случай, когда зависимость линейна относительно параметров, т.е. f(X,θ*)= . m – число параметров, n – число точек. И пусть y не имеет своих статистических погрешностей, т.е. это измеренные величины с нормальной точностью.

Введем параметр γ_m,n=Г/V₀ показатель стат. неустойчивости, убывающий с ростом n и увеличивающийся с ростом m. Тогда общая погрешность

V = V₀ + Г = V₀ + V₀ γ_m,n = V₀(1+ γ_m,n).

Христофоров показал, что для зависимости, линейной относительно своих параметров, γ_m,n = m/(n-m). Отсюда понятно, что V = V₀*n/(n-m).

Кстати, аналогично было показано что пред. погрешность V₀=1/(n-m)*ΣΔу², где Δу отклонения фактических значений у от рассчитанных по зависимости. Вспомним, что S_зав= 1/n*ΣΔу². Отсюда можем получить, что V₀=n/(n-m) S_зав. Подставим в формулу общей погрешности V = V₀*n/(n-m) = [n/(n-m)]² S_зав. То есть теперь мы можем понять, насколько мы завышаем точность при оценке расчетов, используя только S_зав. Кстати среднеквадратическая погрешность √V=n/(n-m)*√S_зав.

К сожалению, это был самый простой случай, когда мы строим линейную зависимость и не учитываем статистических погрешностей самой y.

Сложный случай: исходные данные имеют стат. погрешность. y = ±σ, где оценка по ряду наблюдений, σ – погрешность статистики, среднеквадратическое отклонение. Если есть скоррелированность рядов, то есть скоррелированность погрешностей. Блохинов вывел, что при определении среднего (например, нормы стока) скоррелированность погрешностей равна скоррелированности рядов. . При определении коэффициента вариации , а при определении коэффициента асимметрии C_s . А чтобы найти эту скоррелированность рядов, нужно построить корреляционную матрицу и оценить по ней эту среднюю скоррелированность .

Нужно еще получить обязательно оценку погрешностей на независимом материале S^*_нез (например, методом выбрасываемой точки). И тогда нам поможет золотая формула Христофорова с оценкой суммарной погрешности V^*= S^*_нез – σ²(1-2 ).

Ну а если скоррелированность отсутствует =0, V^*= S^*_нез – σ². Такое возможно, если нами получена точная зависимость y=f(X), но разброс идет за счет точности исходных данных.

При =0,5, тогда V^*= S^*_нез.

Напоследок общая последовательность оценки погрешности эмпир зависимости:

1. оценить точность исходных данных расчетом их сркв погрешности

2. получить корреляционную матрицу

3. вычислить среднюю скоррелированность, а по Блохинову определить скоррелированность погрешностей

4. оценить точность расчетов на независимом материале

5. применить золотую формулу Христофорова.

Кстати, предельная погрешность по Христофорову V₀=√(S_нез*S_зав)

Отсюда уже можно играть с полученной зависимостью и исходя из соотношения V–V₀=Г, улучшать ее точность. Итак, V хар-т устойчивость нашей зав-ти, V₀ отражает детальность, Г – стат. неустойчивость, определяющаяся числом параметров.

КАРТЫ. Во-первых, есть карты изолиний (интерполяционные). Они получаются исходя, из эмпирических зависимостей y=f(X;θ*). Во-вторых, карты районов.

Карты изолиний: сложности:

1. хар-ки стока относятся к бассейнам, точки у нас фигурально, т.к. относятся к центрам бассейна.

2. Вариации внутри бассейна м.б. какие угодно, мы используем только средневзвешенные величины.

3. При большом разнообразии условий формирования стока центр тяжести бассейна перестает быть репрезентативной точкой.

Для построения карт нужно использовать средние водосборы с зональным стоком, большие реки также не исп-ся из-за наличия транзитного стока.

Шаг изолиний выбирается так, чтобы он не был меньше среднего размера используемых бассейнов. + он должен примерно соответствовать удвоенной погрешности определения параметров в отдельной точке.

Карты строятся вручную, поэтому исчезает понятие «числа параметров». Лучше если распределение y задается каким-то полиномом. Тогда погрешность расчетов реализуется по схеме, расписанной выше, как для эмпирических зависимостей.

Карты строятся вручную, поэтому исчезает понятие «числа параметров». Первый случай: y точные, то V^*= S^*_нез. Метод выбрасываемой точки должен осуществляться независимым экспертом.

Второй случай: Исходные данные имеют стат. погрешность. y= ±σ. Нужно сделать оценки S_нез и S_зав. Оценить среднюю скоррелированность погрешностей с помощью пространственно-корреляционной функции. Далее золотая формула Христофорова с оценкой суммарной погрешности V^*= S^*_нез – σ²(1-2 ).

Дополнительное исследование уравнения V^*–V₀=Г, где V₀=√(S_нез*S_зав).

Карты районов: Бывает, когда величины y привязаны к готовому районированию. Тогда просто считаем погрешность расчетов на независимом мат-ле, определяем погрешность исх. данных σ², скоррелированность погрешностей. Суммарная погрешность V^*= S^*_нез – σ²(1-2 ).

Если сами готовим карту районов, то можно тоже тупо работать методом выбрасываемой точки для оценки погрешности на независимом мат-ле, но это крайне неэффективно, как показал Евстигнеев. А Христофоров в свою очередь показал, как надо: всю совокупность n точек использовать для районирования. А для проверки ее точности нужно разделить n точек на l обучающую совокупность и k контролирующую. По l строим районирование, оцениваем устойчивость выделения районов. число районо m_l. V_l^*= S^*_нез,l – σ²(1-2 ).А для всей карты по н точкам m_n/(n-m_l)<γ_m,n<m_l/(l-m_l). Отсюда уже можно оценить и суммарную погрешность, если вспомнить, что V_0,n=n/(n-m)S_зав

V_m,n = V_0,n(1+ γ_m,n)

Эту же хрень можно делать несколько раз меняя местами контролирующую и обучающую выборки.