Задача 8

Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно два вызова, более двух.

Исходные данные: N = 240.

Решение:

Вероятность того, что конкретный звонок попадет в какую-либо минуту, равна:

.

Поскольку p < 0.1 используем формулу Пуассона для нахождения искомой вероятности:

, где для данной задачи – среднее количество вызовов в минуту, – искомое количество вызовов в минуту.

Таким образом, вероятность того, что за данную минуту станция получит ровно два вызова, будет равна:

Чтобы найти вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов, определим сначала вероятность того, что за данную минуту станция получит не более двух вызовов:

Используя теорему о противоположных событиях, найдем вероятность того, что за данную минуту станция получит более двух вызовов:

Ответ: ,

Задача 9

Ошибка взвешивания – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 0, и среднеквадратическим отклонением, равным n грамм. Найти вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю N грамм.

Исходные данные: n =4, N = 8.

Решение:

Поскольку погрешности в измерениях подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся формулой:

, где – математическое ожидание, – среднеквадратическое отклонение, – заданная точность.

Таким образом, вероятность того, что взвешивание проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 8 грамм, будет равно:

Ответ:

Задача 10

Проверив n изделий в партии, обнаружили, что m изделий высшего сорта, а n-m – нет. Сколько надо проверить изделий, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01?

Исходные данные: n =1600, m =400.

Решение:

Поскольку задачи определения брака (качества) подчинены нормальному закону распределения, воспользуемся для решения этой задачи следующей формулой:

, где = 0.95 (95%) - заданная надежность.

Тогда с учетом того, что , формула из предыдущей задачи запишется в следующем виде:

Сделаем подстановки: , .

Тогда формула примет вид:

Найдем :

По соответствующей таблице находим, что .

Найдем среднеквадратическое отклонение . Для этого найдем дисперсию . Дисперсия при нормальном законе распределения, согласно теореме Бернулли, когда , равна .

Вероятность того, что деталь окажется высшего сорта, будет равна: ,

Вероятность того, что деталь будет не высшего сорта, равна: .

Соответственно, дисперсия будет равна: .

0.433.

Из уравнения переменной выразим N, получим:

Ответ: для того, чтобы с уверенностью 95% определить долю высшего сорта с точностью до 0.01 необходимо проверить не менее 7203 изделий.

Задача 11

В вариантах данной задачи известен закон распределения дискретной случайной величины :

X	-1	5	6	8	10
P	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Определить математическое ожидание , дисперсию , вероятность попадания в интервал , т.е. . Построить график интегральной функции распределения .

Исходные данные: = 6, = 9.

Решение:

Заполним расчетную таблицу:

	-1	5	6	8	10	Суммы
	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3	1
	-0.1	1.0	0.6	2.4	3.0	6.9
	0.1	5.0	3.6	19.2	30.0	57.9

Математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

Составим интегральную функцию распределения:

- вероятность того, что случайная величина примет значение из данного интервала.

Ответ: , , .